а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На бо­ко­вом ребре SA пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC взята точка D, через ко­то­рую про­ве­де­но се­че­ние пи­ра­ми­ды, пе­ре­се­ка­ю­щее апо­фе­мы гра­ней SAC и SAB в точ­ках M и N. Из­вест­но, что пря­мые DM и DN об­ра­зу­ют углы β с плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, а ве­ли­чи­ны углов DMS и DNS равны α,

а)   До­ка­жи­те, что се­ку­щая плос­кость па­рал­лель­на ребру ВС.

б)   Най­ди­те угол MDN, если

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность с цен­тром О, впи­сан­ная в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС, ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы АВ в точке М, а ка­те­та АС   — в точке N, AC < BC. Пря­мые MN и СО пе­ре­се­ка­ют­ся в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что угол CKN в два раза мень­ше угла АВС.

б)  Най­ди­те ВК, если

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 480 тысяч руб­лей на 27 ме­ся­цев.

Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа пер­вые два ме­ся­ца и по­след­ний месяц долг дол­жен умень­шить­ся на a тысяч руб­лей, все осталь­ные ме­ся­цы долг дол­жен быть мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на b тысяч руб­лей.

Най­ди­те а, если всего банку будет вы­пла­че­но 656,4 тысяч руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра p, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Име­ет­ся пря­мо­уголь­ная таб­ли­ца раз­ме­ром M × N, за­пол­нен­ная чис­ла­ми 0 и 1, об­ла­да­ю­щая сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми. Во‐пер­вых, в каж­дой стро­ке и в каж­дом столб­це есть хотя бы один эле­мент, рав­ный 1. Во‐вто­рых, нет ни одной пары оди­на­ко­вых строк, а также ни одной пары оди­на­ко­вых столб­цов. Таб­ли­цы, об­ла­да­ю­щие этими свой­ства­ми, на­зо­вем «хо­ро­ши­ми».

Две таб­ли­цы на­зо­вем эк­ви­ва­лент­ны­ми в том и толь­ко в том слу­чае, если из одной из них можно по­лу­чить дру­гую путем пе­ре­ста­нов­ки строк и/или столб­цов. При­ве­дем при­мер двух эк­ви­ва­лент­ных таб­лиц раз­ме­ром 3 × 3.

Вто­рая таб­ли­ца по­лу­ча­ет­ся из пер­вой сна­ча­ла пе­ре­ста­нов­кой в ней 1‐й и 3‐й строк, потом 2‐го и 3‐го столб­ца в по­лу­чен­ной таб­ли­це, а затем 1‐й и 2‐й стро­ки в по­след­ней по­лу­чен­ной таб­ли­це.

а)   Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных по­пар­но не­эк­ви­ва­лент­ных «хо­ро­ших» таб­лиц раз­ме­ром 2 × 3?

б)  Ука­жи­те ко­ли­че­ство всех таб­лиц, эк­ви­ва­лент­ных «хо­ро­шей» таб­ли­це

в)   Какое мак­си­маль­ное число столб­цов может быть в «хо­ро­шей» таб­ли­це, со­дер­жа­щей М строк?