Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 547544

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 через середину D ребра CC1 проведено сечение ADB1.

а) Докажите, что плоскость сечения делит объем призмы пополам.

б)  Найдите угол между плоскостями АВС и ADB1, если боковые ребра равны 2, а стороны основания равны 5.

Спрятать решение

Решение.

а) Через точку D проведем плоскость DEF параллельную ABC, и точка Е является серединой ребра АА1, а точка F — середина ребра BB1. Пусть плоскость DEF пересекает AB1 в точке M. Тогда, так как FE — средняя линия ABB1A1, то M является серединой AB1, следовательно, M — середина FE. Тогда DM — медиана треугольника DEF и площади треугольников DEF и DEM равны. Кроме этого B1F = AE, значит, объемы AMDE и B1DFM равны. Очевидно, что плоскость DEF разбивает призму на две фигуры равного объема, значит, объем ABCDEF равен объему фигуры DEFA1B1C1.

Вычислим:

V_ABCDB_1=V_ABCDMF плюс V_B_1DFF_1=V_ABCDMF плюс V_A1DEF=V_ABCDEF.

Это означает, что V_ABCDB_1 равен половине объема призмы. А это и требовалось доказать.

 

б) Так как плоскость DEF параллельна плоскости ABC, будем искать угол между ней и плоскостью ADB1. Они пересекаются по прямой DM, которая является медианой и высотой в треугольнике DEF. Значит, прямая FE перпендикулярна прямой DM по теореме о трех перпендикулярах и B1A перпендикулярна DM. Таким образом, угол B1MF — линейный угол двугранного угла. Далее имеем:

FM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби EF= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,

B_1F= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BB_1=1.

Следовательно,  тангенс \angle B_1MF = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби , откуда  \angle B_1MF = арктангенс дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Ответ: б)  арктангенс дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 317. (Часть C)