а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ние пря­мой приз­мы   — ромб KLMN с углом 60° при вер­ши­не K. Точки E и F  — се­ре­ди­ны ребер LL' и LM приз­мы. Ребро SA пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD (S  — вер­ши­на) лежит на пря­мой LN, вер­ши­ны D и B  — на пря­мых MM' и EF со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка В лежит на пря­мой ММ'.

б)  Найти от­но­ше­ние объ­е­мов приз­мы и пи­ра­ми­ды.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Про­дол­же­ния ме­ди­ан AM и BK тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют опи­сан­ную около него окруж­ность в точ­ках E и F со­от­вет­ствен­но, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB па­рал­лель­на пря­мой CE.

б)  Найти углы тре­уголь­ни­ка ABC.

На каж­дом из двух ком­би­на­тов ра­бо­та­ет по 1800 че­ло­век. На пер­вом ком­би­на­те один ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет за смену 1 де­таль А или 2 де­та­ли В. На вто­ром ком­би­на­те для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко‐смен.

Оба эти ком­би­на­та по­став­ля­ют де­та­ли на ком­би­нат, из ко­то­рых со­би­ра­ют из­де­лие, для из­го­тов­ле­ния ко­то­ро­го нужна или 1 де­таль А, или 1 де­таль В. При этом ком­би­на­ты до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой из­го­тав­ли­вать де­та­ли так, чтобы можно было со­брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий. Сколь­ко из­де­лий при таких усло­ви­ях может со­брать ком­би­нат за смену?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет не менее че­ты­рех раз­лич­ных ре­ше­ний, яв­ля­ю­щих­ся це­лы­ми чис­ла­ми.

При изу­че­нии темы «Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское» в клас­се из 34 уча­щих­ся раз­да­ли синие и крас­ные кар­точ­ки, при этом каж­дый из уче­ни­ков по­лу­чил хотя бы одну кар­точ­ку, но не более одной каж­до­го цвета. На каж­дой кар­точ­ке на­пи­са­но одно целое число от 0 до 20 (на раз­лич­ных кар­точ­ках могут быть за­пи­са­ны оди­на­ко­вые числа). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по всем роз­дан­ным кар­точ­кам ока­за­лось рав­ным 15 по каж­до­му цвету в от­дель­но­сти. Затем каж­дый уче­ник на­звал наи­боль­шее из чисел на своих кар­точ­ках (если ему до­ста­лась одна кар­точ­ка, то он на­звал число, на­пи­сан­ное на этой кар­точ­ке). Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех на­зван­ных чисел ока­за­лось равно S.

а)  При­ве­ди­те при­мер, когда

б)  Могло ли S быть рав­ным 9?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, если по две кар­точ­ки по­лу­чи­ли 17 уче­ни­ков.