Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD имеют длину 2. Точки M и N — середины рёбер AS и AD соответственно. Через точку M перпендикулярно прямой CN проходит сечение.
а) Найдите площадь этого сечения.
б) Найдите, в каком отношении сечение делит объем пирамиды SABCD.
Спроектируем точку M на основание пирамиды (обозначим проекцию T). Тогда T лежит на AC и делит ее в отношении 
Проведем через T прямую, перпендикулярную CN. Обозначим ее пересечение с AB и AD за Q и P соответственно. Тогда MQP — искомое сечение.
Докажем, что 
и 
В самом деле, выберем точки P и Q по этим правилам и убедимся, что прямая PQ перпендикулярна прямой CN и 
Имеем:
И
поэтому точки лежат на одной прямой.
а) Найдём площадь этого сечения:
б) Имеем:
поэтому объемы частей относятся как 
Ответ: а) 
б) 