Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На бо­ко­вых реб­рах AA_1,BB_1,CC_1 пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA_1B_1C_1 левая круг­лая скоб­ка AA_1||BB_1||CC_1 пра­вая круг­лая скоб­ка рас­по­ло­же­ны точки K,L и М со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что угол между пря­мы­ми KL и АВ равен дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , а угол между пря­мым КМ и АС – дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

а)  По­строй­те плос­кость, про­хо­дя­щую через точки K,L и М.

б)  Най­ди­те угол между этой плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния АВС.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но со­еди­ним от­рез­ка­ми точки K, L и M. \Delta KLM  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  С по­мо­щью па­рал­лель­но­го пе­ре­но­са про­стран­ства сов­ме­стим точки А и K, M и C1. При этом точка Lпе­рей­дет на се­ре­ди­ну ребра BB1.

Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 1.

При этом BL=1;KL= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;KM= дробь: чис­ли­тель: KC, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =2;

MC=AC умно­жить на тан­генс 60 гра­ду­сов = ко­рень из 3 ;B_1L=BB_1 минус BL=MC минус BL= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1.

 

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке LB1M:

LM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BL_1 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс B_1M в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 плюс 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM. Но пре­жде вы­чис­лим синус \angle MKL.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов: LM в квад­ра­те =KM в квад­ра­те плюс KL в квад­ра­те минус 2KM умно­жить на KL умно­жить на ко­си­нус \angle MKL;5 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =4 плюс 2 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус \angle MKL;

ко­си­нус \angle MKL= дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; синус \angle MKL= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 12, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 32 минус 13 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

S левая круг­лая скоб­ка KLM пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби KM умно­жить на KL умно­жить на синус \angle MKL= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Если ис­ко­мый угол альфа , то ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: S левая круг­лая скоб­ка KLM пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 19 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та . альфа = арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 19 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 19 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025