Основания шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 — правильные шестиугольники. Точки K, L и M — середины рёбер EF, CD и BB1 соответственно.
а) Докажите, что плоскость KLM делит ребро FF1 в отношении 1 : 5, считая от точки F.
б) Найдите расстояние от центра основания A1B1C1D1E1F1 до плоскости KLM, если призма правильная, AB = 1 и 
а) Построим сечение призмы, проходящее через точки X, Y, Z, W — середины рёбер AB, DE, A1B1, D1E1 соответственно. Оно также содержит точки O и O1 — центры оснований — и точки S и T — середины отрезков KL и MN соответственно, где N — точка пересечения плоскости KLM с ребром AA1. Пусть также R и Q — точки пересечения плоскости KLM с рёбрами CC1 и FF1 соответственно. Так как прямые KL и CF параллельны, прямые RQ, CF и MN тоже параллельны. Кроме того, прямые CC1, FF1 и OO1 параллельны. Пусть O2 — точка пересечения OO1 и OR, тогда OFQO2 — параллелограмм и QF = OO2.
Заметим, что треугольники SOO2 и STX — подобны,
откуда 
б) Опустим перпендикуляр O1H на прямую ST. Заметим, что он лежит в плоскости XYZW, которая содержит высоту призмы OO1 и, следовательно, перпендикулярна основанию и, в частности, прямой KL. Тогда отрезок O1H перпендикулярен прямой KL и плоскости KLM, и является искомым расстоянием. Треугольники O1O2H и SOO2 подобны, следовательно,
откуда 
Ответ: б) 