В правильной четырехугольной пирамиде SABCD на ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN : NC = SK : KC = 1 : 4. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите, в каком отношении плоскость α делит объем пирамиды.
а) Пусть плоскость α пересекает грань SBC по отрезку KL, а грань ABCD по отрезку MN. Заметим, что прямые KL, BC и MN параллельны. При этом точка L лежит на ребре SB, а точка M — на ребре AB. Так как прямые KL, BC и MN параллельны, имеем:
таким образом, прямые ML и SA параллельны, и плоскость α параллельна прямой SA.
б) Разобьём многогранник BCKLMN на две пирамиды: LMNCB и NCKL. Первая пирамида четырёхугольная с прямоугольником BCNM в основании, вершиной L и высотой LH. Отрезок SO — высота пирамиды SABCD. Заметим, что 
Тогда
Пусть hN — высота пирамиды NCKL, опущенная из вершины N, а hD — высота пирамиды DBCS, опущенная из вершины D. Тогда 
Следовательно, 
Тогда получаем:
Тем самым объём оставшегося куска равен 
и искомое соотношение — 37 : 88.
Ответ: б) 37 : 88.