Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Версия для печати и копирования в MS Word
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 35, AD = 12, CC1 = 21.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D — середина ребра BB1.
а) Пусть прямые C1D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол EAC — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADC1.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой сторона основания AB = 4, а боковое ребро AA1 = 9. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA1 взята точка T так, что AT = 5.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 
Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.
а) Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.
б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что плоскости AA1D1 и DB1F1 перпендикулярны.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно 
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости ACB1.
б) Найдите угол между плоскостями AD1C1 и A1D1C.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит апофему грани ASB в отношении 2 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания 
а боковое ребро AA1 = 5.
а) Найдите длину отрезка A1K, где K — середина ребра BC.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1.
б) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
б) Известно, что CM = 17 и CD = 32. Найдите сторону AD.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что 
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет более одного корня.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Четыре натуральных числа a, b, c, d таковы, что
а) Могут ли все числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?
в) Найдите все возможные наборы чисел (без учета их порядка в наборе), среди которых ровно два числа равны.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Четыре натуральных числа таковы, что
а) Могут ли все эти числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 7?
в) Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции 
не меньше 1.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
не имеет корней.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
не имеет корней.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
состоит из одной точки, найдите это решение.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение, меньшее 2.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения
принимает наибольшее значение.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
состоит из одной точки, и найдите это решение.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет более одного корня.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно четыре решения.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что
б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ACB = 30°.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что 
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
б) Известно, что CM = 17 и CD = 25. Найдите сторону AD.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно 
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания 
а боковое ребро AA1 = 8.
а) Докажите, что плоскость BCA1 перпендикулярна плоскости проходящей через ребро AA1 и середину ребра B1C1.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.