Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка О₁  — центр квад­ра­та АВСD, точка О₂  — центр квад­ра­та СС₁D₁D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые А₁О₁ и В₁О₂  — скре­щи­ва­ю­щи­е­ся.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми А₁О₁ и В₁О₂, если ребро куба равно 2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точке К. Пря­мая р ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке М, а вто­рой  — в точке N.

а)  До­ка­жи­те что рас­сто­я­ние от точки К до пря­мой р равно

б)   Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNK, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 12 и 3.

1 июля пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 300 тыс. руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число ме­ся­цев). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 15 числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом те­ку­ще­го ме­ся­ца;

  — с 16 по 28 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­чи­вать часть долга.

  — 1 числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше, чем долг на 1 число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко ме­ся­цев был взят кре­дит, если из­вест­но, что сумма вы­плат за пер­вый год ока­за­лась на 144 тыс. руб­лей боль­ше, чем сумма вы­плат за вто­рой год? Най­ди­те общую сумму вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно один ко­рень.

а)  Могут ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ства где a₁, a₂, a₃, a₄  — целые числа?

б)  Могут ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ства где a₁, a₂,..., a₆, a₇  — целые числа?

в)  При каком наи­мень­шем но­ме­ре могут вы­пол­нять­ся ра­вен­ства где a₁, a₂,..., a_n  — целые числа?