Длина высоты правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S в 
раз больше длины стороны основания. Точка D — cередина апофемы SN, где N — середина АС.
а) Докажите, что угол между прямой BD и плоскостью 
проходящей через ребро SC и середину ребра АВ, равен 30°.
б) Найдите расстояние между BD и SC, если сторона основания равна 3.
а) Пусть точка K — середина AB. Прямая CK содержит точку H — основание высоты пирамиды, следовательно, 
и плоскость 
перпендикулярна ABC. Пусть M — точка пересечения и BD. Прямая BK перпендикулярна плоскости значит, искомый угол — угол BMK. Далее, 
а по теореме Менелая 
таким образом, 
Пусть 
отсюда имеем: 
тогда 
Откуда 
и 
Значит, 
то есть угол BMK равен 30°.
б) Пусть P — середина NC. Тогда прямая DP параллельна прямой SC, поскольку является средней линией треугольника NSC. Следовательно, прямая SC параллельна плоскости DPB. Значит, искомое расстояние между BD и SC равно расстоянию от точки C до плоскости BDP, пусть оно равно h. Известно, что 
Таким образом, объем пирамиды
С другой стороны,
откуда 
Имеем: 
откуда 
таким образом, 
Теперь найдем площадь треугольника BDP. Найдем
тогда 
следовательно,
Откуда получаем 
и, значит, 
Ответ: б) 
Здравствуйте. Спасибо вам за поддержку с разбором. Цифры пугают. Площадь я искала по Герону — расчеты, по-моему, получше.