Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды PABCD лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ост­рым углом 45°. Бо­ко­вые грани PABи PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. 

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти PAB и PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. 

б)  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что BC  =  6, АD  =  12, а объем пи­ра­ми­ды равен 27.     

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В ост­ро­уголь­ном не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AA₁ и 

CC₁. Точки A₂ и C₂ сим­мет­рич­ны се­ре­ди­не сто­ро­ны  AC от­но­си­тель­но пря­мых BC и AB со­от­вет­ствен­но.  

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки A1A₂ и C₁С₂ лежат на па­рал­лель­ных пря­мых.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A₂ и C₂, если из­вест­но, что AB  =  7, BC  =  6, CA  =  5.  

Груз вна­ча­ле по­гру­зи­ли в ва­го­ны вме­сти­мо­стью по 80 тонн, но один вагон остал­ся за­гру­жен  не  пол­но­стью.  Тогда  весь груз пе­ре­ло­жи­ли в ва­го­ны вме­сти­мо­стью по 60 тонн. При этом по­на­до­би­лось на 8 ва­го­нов боль­ше, и все равно  один вагон остал­ся за­гру­жен не пол­но­стью. На­ко­нец, груз пе­ре­ло­жи­ли в ва­го­ны вме­сти­мо­стью по 50 тонн. При этом по­на­до­би­лось еще на 5 ва­го­нов боль­ше, и все ва­го­ны ока­за­лись пол­но­стью за­гру­жен­ны­ми. Сколь­ко было тонн груза?

Гра­фик функ­ции пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат в точке А и имеет ровно две общие точки M и N с осью абс­цисс. Пря­мая, ка­са­ю­ща­я­ся этого гра­фи­ка в точке  M, про­хо­дит  через точку  А. Най­ди­те а, b и с, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMN равна 1.

а)  В го­ро­де Глу­по­ве каж­дый жи­тель  — по­ли­цей­ский, вор или обы­ва­тель. По­ли­цей­ские все­гда врут обы­ва­те­лям, воры  — по­ли­цей­ским, а обы­ва­те­ли  — ворам, а во всех осталь­ных слу­ча­ях жи­те­ли го­ро­да го­во­рят прав­ду. Од­на­ж­ды, когда не­сколь­ко глу­пов­цев во­ди­ли хо­ро­вод, каж­дый ска­зал сво­е­му со­се­ду спра­ва: «Я  — по­ли­цей­ский». Сколь­ко в этом хо­ро­во­де было обы­ва­те­лей?   

б)  За круг­лым сто­лом сидят 10 че­ло­век, каж­дый из ко­то­рых  — од­но­го из двух типов: лжец (все­гда лжет) или ры­царь (все­гда го­во­рит прав­ду). Каж­дый из них утвер­жда­ет:

«Мои со­се­ди слева и спра­ва  — раз­но­го типа». Сколь­ко лже­цов сидит за сто­лом? 

в)  Хок­кей­ная ко­ман­да, на­счи­ты­ва­ю­щая 28 че­ло­век, со­сто­ит из ры­ца­рей (все­гда го­во­рят прав­ду) и лже­цов (все­гда лгут). Од­на­ж­ды каж­дый игрок сде­лал за­яв­ле­ние. Пер­вый ска­зал:  «Ко­ли­че­ство ры­ца­рей в ко­ман­де де­ли­тель  — 1».  Вто­рой  ска­зал:  «Ко­ли­че­ство ры­ца­рей в ко­ман­де  — де­ли­тель  2» и так далее до 28‐го, ко­то­рый  ска­зал:  «Ко­ли­че­ство 

ры­ца­рей в ко­ман­де  — де­ли­тель 28». Опре­де­ли­те, сколь­ко в ко­ман­де ры­ца­рей.