Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA_1B_1C_1 все ребра равны между собой. Точка К  — се­ре­ди­на ребра CC_1.  

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AB_1 и BK пер­пен­ди­ку­ляр­ны.  

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB_1 и BK, если ребро приз­мы равно 6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  От­ме­тим на про­дол­же­нии CC1 за точку C1 точку K1 так, чтобы C_1K_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CC_1. Тогда BK па­рал­ле­лен B1K1. Оста­лось до­ка­зать, что \angle AB_1K_1=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Пусть AB=AA_1=2a. Тогда:

AB_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a в квад­ра­те плюс 4a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та ,

 

B_1K_1=BK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ,

 

AK_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те плюс CK_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a в квад­ра­те плюс 9a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

Зна­чит, в тре­уголь­ни­ке AB1K1 вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство AB_1 в квад­ра­те плюс B_1K_1 в квад­ра­те =AK_1 в квад­ра­те и тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный.

б)  Те­перь найдём рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB1 и BK:

d левая круг­лая скоб­ка BK,AB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =d левая круг­лая скоб­ка BK,AB_1K пра­вая круг­лая скоб­ка =d левая круг­лая скоб­ка B, AB_1K_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3V_AB_1K_1B, зна­ме­на­тель: S_AB_1K_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: d левая круг­лая скоб­ка K_1, ABB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка S_ABB_1, зна­ме­на­тель: S_AB_1K_1 конец дроби =

 

= дробь: чис­ли­тель: d левая круг­лая скоб­ка C, ABB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2S_ABB_1, зна­ме­на­тель: 2S_AB_1K_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: d левая круг­лая скоб­ка C, AB пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на AB умно­жить на BB_1, зна­ме­на­тель: AB_1 умно­жить на B_1K_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 6 умно­жить на 6, зна­ме­на­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 175
Классификатор стереометрии: Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025