а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма На ребре BC взята точка M, причём

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через цен­тры гра­ней и па­рал­лель­но ребру AC, про­хо­дит через точку M.

б)  Пусть K  — се­ре­ди­на ребра N  — центр грани Най­ди­те угол между пря­мы­ми и MN, если

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Точка M  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к ги­по­те­ну­зе пе­ре­се­ка­ет катет BC в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ANB и CBM, если

Пред­при­я­тие не­пре­рыв­но­го цикла за­ни­ма­ет­ся ис­пы­та­ни­ем го­то­вых из­де­лий двух типов. Еже­ме­сяч­но пред­при­я­тие по­лу­ча­ет для ис­пы­та­ний не более 300 из­де­лий пер­во­го типа и не более 600 из­де­лий вто­ро­го типа. Ка­че­ство каж­до­го из­де­лия про­ве­ря­ет­ся на двух стен­дах А и Б (стен­ды могут ис­поль­зо­вать­ся для ис­пы­та­ния каж­до­го из­де­лия в любой по­сле­до­ва­тель­но­сти). Для про­вер­ки од­но­го из­де­лия пер­во­го типа тре­бу­ет­ся 36 минут ис­пы­та­ний на стен­де А и 30 минут ис­пы­та­ний на стен­де Б; для про­вер­ки од­но­го из­де­лия вто­ро­го типа тре­бу­ет­ся 30 минут ис­пы­та­ний на стен­де А и 9 минут ис­пы­та­ний на стен­де Б. По тех­ни­че­ским при­чи­нам стенд А может ра­бо­тать не более 360 часов в месяц, а стенд Б  — не более 180 часов в месяц. Про­вер­ка од­но­го из­де­лия пер­во­го типа при­но­сит пред­при­я­тию 135 д. е. при­бы­ли, а про­вер­ка од­но­го из­де­лия вто­ро­го типа  — 75 д. е. при­бы­ли. Най­ди­те наи­боль­шую воз­мож­ную еже­ме­сяч­ную при­быль пред­при­я­тия и опре­де­ли­те, сколь­ко из­де­лий пер­во­го типа и сколь­ко из­де­лий вто­ро­го типа сле­ду­ет еже­ме­сяч­но про­ве­рять для по­лу­че­ния этой при­бы­ли.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Уче­ни­ки пи­са­ли тест. Ре­зуль­та­том каж­до­го уче­ни­ка яв­ля­ет­ся целое не­от­ри­ца­тель­ное число бал­лов. Уче­ник счи­та­ет­ся сдав­шим тест, если он на­брал не менее 83 бал­лов. Из‐за того, что за­да­ния ока­за­лись труд­ны­ми, всем участ­ни­кам теста до­ба­ви­ли по 5 бал­лов, бла­го­да­ря чему ко­ли­че­ство сдав­ших тест уве­ли­чи­лось.

а)  Мог ли сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, по­ни­зить­ся?

б)  Мог ли сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, по­ни­зить­ся и сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, тоже по­ни­зить­ся?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­ний балл участ­ни­ков теста со­ста­вил 90, сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, со­ста­вил 100, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 75. После до­бав­ле­ния бал­лов сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 103, а не сдав­ших тест  — 79. При каком ми­ни­маль­ном числе участ­ни­ков теста воз­мож­на такая си­ту­а­ция?