В правильной треугольной призме 
сторона основания AB равна 6, а боковое ребро 
равно 3. На ребре 
отмечена точка L так, что 
Точки K и M — середины ребер AB и 
соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
а) Пусть T — точка на 
такая, что 
N — середина отрезка BC. Тогда KNLT — сечение. Сразу отметим, что прямая BM перпендикулярна прямой KN по теореме о трех перпеникулярах, поскольку проекция BM на плоскость нижнего основания — высота треугольника BAC, а прямая KN параллельна прямой AC.
Рассмотрим теперь сечение призмы плоскостью 
Это прямоугольник со сторонами 3 и 
Отметим на его сторонах точки 
и 
пересечения с LT и KN соответственно (они делят его стороны в отношениях 
и 
соответственно). Докажем, что прямая BM перпендикулярна прямой 
Обозначим за O их точку пересечения и за 
проекцию на 
(она же середина ). Далее:
откуда 
Далее:
поэтому 
Значит,
что и требовалось доказать.
Итак, BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости KNLT, поэтому прямая BM перпендикулярна плоскости KNLT.
б) Имеем:
Это по пункту а) высота пирамиды. Ее основание — трапеция, высота которой — 
(поскольку проекция этого отрезка на плоскость верхнего основания — высота треугольника и перпендикулярна прямой LT, которая параллельна прямой 
то и сам отрезок по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярен основанию трапеции). Значит,
Окончательно,
Ответ: 