Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равна а вы­со­та СС₁ равна 7,5. На ребре B₁C₁ от­ме­че­на точка Р так, что B₁P:PC₁  =  1 : 3. Точки Q и М яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон АВ и A₁C₁ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой АС и про­хо­дит через точки Р и Q.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая ВМ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки М до плос­ко­сти α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Через вер­ши­ны А и В тре­уголь­ни­ка АВС про­ве­де­на окруж­ность ра­ди­у­са от­се­ка­ю­щая от пря­мой ВС от­ре­зок и ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой АС в точке А. Из точки В про­ве­ден пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой ВС до пе­ре­се­че­ния с пря­мой АС в точке F.

а)  До­ка­жи­те AF  =  BF.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если BF  =  2.

Вася меч­та­ет о соб­ствен­ной квар­ти­ре, ко­то­рая стоит 3 млн руб. Вася может ку­пить ее в кре­дит, при этом банк готов вы­дать эту сумму сразу, а по­га­шать кре­дит Васе при­дет­ся 20 лет рав­ны­ми еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми, при этом ему при­дет­ся вы­пла­тить сумму, на 180% пре­вы­ша­ю­щую ис­ход­ную. Вме­сто этого, Вася может какое-⁠то время сни­мать квар­ти­ру (сто­и­мость арен­ды  ― 15 тыс. руб. в месяц), от­кла­ды­вая каж­дый месяц на по­куп­ку квар­ти­ры сумму, ко­то­рая оста­нет­ся от его воз­мож­но­го пла­те­жа банку (по пер­вой схеме) после упла­ты аренд­ной платы за съем­ную квар­ти­ру. За какое время в этом слу­чае Вася смо­жет на­ко­пить на квар­ти­ру, если счи­тать, что сто­и­мость ее не из­ме­нит­ся?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

Воз­рас­та­ю­щая ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из раз­лич­ных целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел. Ма­те­ма­тик вы­чис­лил раз­ность между квад­ра­том суммы всех чле­нов про­грес­сии и сум­мой их квад­ра­тов. Затем ма­те­ма­тик до­ба­вил к этой про­грес­сии сле­ду­ю­щий её член и снова вы­чис­лил такую же раз­ность.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой про­грес­сии, если во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 40 боль­ше, чем в пер­вый раз.

б)  Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1768 боль­ше, чем в пер­вый раз. Могла ли про­грес­сия сна­ча­ла со­сто­ять из 13 чле­нов?

в)  Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1768 боль­ше, чем в пер­вый раз. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов могло быть в про­грес­сии сна­ча­ла?