а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де МАВС с ос­но­ва­ни­ем АВС сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые ребра равны 8. На ребре АС на­хо­дит­ся точка D, на ребре АВ  — точка Е, а на ребре АМ  — точка L. Из­вест­но, что CD  =  BE  =  AL  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость EDL делит объем пи­ра­ми­ды МАВС в от­но­ше­нии

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На ги­по­те­ну­зе KL рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KLM вне тре­уголь­ни­ка по­стро­ен квад­рат KLPQ. Пря­мая MQ пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу KL в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что KN : NL  =  1 : 2.

б)  Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку N пер­пен­ди­ку­ляр­но MQ, пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок LP в точке R. Най­ди­те LR, ели KQ  =  9.

Фирма по про­из­вод­ству ме­бе­ли вы­пус­ка­ет две мо­де­ли спаль­ных гар­ни­ту­ров  — А и В. Их про­из­вод­ство огра­ни­че­но на­ли­чи­ем сырья (ка­че­ствен­ных досок) и вре­ме­нем ма­шин­ной об­ра­бот­ки. Для из­го­тов­ле­ния гар­ни­ту­ра мо­де­ли А тре­бу­ет­ся 24 м² досок и 5 часов ма­шин­но­го вре­ме­ни, а для мо­де­ли В  — 40 м² досок и 11 часов ма­шин­но­го вре­ме­ни. Фирма может по­лу­чить от по­став­щи­ка до 600 м² досок в не­де­лю. Воз­мож­ное время ра­бо­ты машин, име­ю­щих­ся в рас­по­ря­же­нии фирмы, со­став­ля­ет 140 часов в не­де­лю. Из­го­тов­ле­ние гар­ни­ту­ра мо­де­ли А при­но­сит фирме 5000 руб­лей до­хо­да, а мо­де­ли В  — 9000 руб­лей до­хо­да. Сколь­ко гар­ни­ту­ров каж­дой мо­де­ли сле­ду­ет вы­пус­кать фирме в не­де­лю, чтобы при­быль фирмы была как можно боль­ше?

При каких зна­че­ни­ях b не­ра­вен­ство

не имеет ре­ше­ний ни при одном зна­че­нии a?

В рам­ках про­ек­та еже­год­ной ат­те­ста­ции учи­те­лей на­чаль­ных клас­сов, в ко­то­ром при­ня­ли уча­стие два го­ро­да А и В, 51 учи­тель на­пи­сал тест. Из­вест­но, что из каж­до­го го­ро­да тест на­пи­са­ли хотя бы два учи­те­ля, при­чем каж­дый на­брал целое по­ло­жи­тель­ное ко­ли­че­ство бал­лов, а после пред­ва­ри­тель­ных под­сче­тов сред­ний балл в каж­дом го­ро­де ока­зал­ся целым чис­лом. Затем один из учи­те­лей, пи­сав­ших тест, пе­ре­ехал из го­ро­да А в город В, и сред­ние баллы по го­ро­дам при­ш­лось пе­ре­счи­тать.

а)  Мог ли сред­ний балл в го­ро­де А после пе­ре­сче­та вы­рас­ти в два раза?

б)   Из­вест­но, что после пе­ре­сче­та сред­ние баллы в го­ро­дах вы­рос­ли на 10%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в го­ро­де В рав­нять­ся 1?

в)   Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в го­ро­де В, если из­вест­но, что после пе­ре­сче­та сред­ние баллы в го­ро­дах вы­рос­ли на 10%.