СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



О ПОЛОМКЕ И ВОССТАНОВЛЕННОЙ КОПИИ РЕШУ ЕГЭ

Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д6 C2 № 533830

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно отношение ребер АВ : BC : CC1 = 1 : 2 : 3.

а) Найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ВС1D.

б) Найдите угол между плоскостями АА1D и ВС1D.

Решение.

а) Введем систему координат, связанную с параллелепипедом. Пусть AB = t, а начало координат находится в точке B(0, 0, 0). Тогда D(t, 2t, 3t) и направляющий вектор прямой BD есть Составим уравнение плоскости BDC1, проходящей через точку B (0, 0, 0) и, значит, имеющей вид Эта плоскость проходит через точки D(t, 2t, 0) и C1(0, 2t, 3t), откуда Тогда a = 6, b = −3, c = 2, а значит, вектор нормали к плоскости BDC1 имеет координаты Найдем синус угла между BO1 и BDC1. Для этого вычислим

Таким образом, угол между BO1 и BDC1 равен

б) Плоскость AA1D — грань, перпендикулярная ребру AB. Следовательно, вектор ее нормали Найдём косинус угла между AA1D и BDC1:

Таким образом, угол между плоскостями AA1D и BDC1 равен

 

Ответ: a) б)

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 305. (Часть C)