СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505689

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со сто­ро­ной и углом А, рав­ным На реб­рах AB, B1C1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B1F = FC1 и DG = 3GC. Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми EFG и ABC, если вы­со­та приз­мы равна 4,5.

Ре­ше­ние.

По­ме­стим за­дан­ную приз­му в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пре­жде чем ис­кать ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек, най­дем не­ко­то­рые па­ра­мет­ры (эле­мен­ты) приз­мы. По­сколь­ку рав­но­бед­рен­ный, то — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, DE — вы­со­та Зна­чит,

Пусть K — се­ре­ди­на DE, F1 — про­ек­ция точки F на плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния.

Те­перь вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек.

Урав­не­ние плос­ко­сти ABC вы­гля­дит так: z = 0, ее нор­маль­ный век­тор

Те­перь со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти EFG. Общий вид ис­ко­мо­го урав­не­ния:

ax + by + cz + d = 0. Для отыс­ка­ния зна­че­ний a, b, c решим си­сте­му урав­не­ний:

От­сю­да:

Най­дем зна­че­ние c.

Итак, урав­не­ние плос­ко­сти EFG имеет вид: или

Нор­маль­ный век­тор этой плос­ко­сти:

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 56.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор стереометрии: Прямая призма, Угол между плоскостями