Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505689
i

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со сто­ро­ной ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та и углом А, рав­ным 60 гра­ду­сов. На реб­рах AB, B1C1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B1F = FC1 и DG = 3GC. Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми EFG и ABC, если вы­со­та приз­мы равна 4,5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­ме­стим за­дан­ную приз­му в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пре­жде чем ис­кать ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек, най­дем не­ко­то­рые па­ра­мет­ры (эле­мен­ты) приз­мы. По­сколь­ку \Delta DAB рав­но­бед­рен­ный, \angle DAB=60 гра­ду­сов, то \Delta DAB  — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, DE  — вы­со­та \Delta DAB. Зна­чит, DE= дробь: чис­ли­тель: AB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пусть K  — се­ре­ди­на DE, F1  — про­ек­ция точки F на плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния.

DG= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,\rho левая круг­лая скоб­ка F;D_1C_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: DE, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,KF_1= дробь: чис­ли­тель: BE плюс CD, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Те­перь вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек.

E левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0;0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,F левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,G левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Урав­не­ние плос­ко­сти ABC вы­гля­дит так: z = 0, ее нор­маль­ный век­тор \overline n_1= левая круг­лая скоб­ка \overline0;0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти EFG. Общий вид ис­ко­мо­го урав­не­ния:

ax + by + cz + d = 0. Для отыс­ка­ния зна­че­ний a, b, c решим си­сте­му урав­не­ний:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a плюс d=0 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби a плюс дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби b плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби c плюс d=0 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби b плюс d=0 . конец си­сте­мы .

От­сю­да: a= минус дробь: чис­ли­тель: 2d, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,b= минус дробь: чис­ли­тель: 4d, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Най­дем зна­че­ние c.

минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2d, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4d, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби c плюс d=0 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус d плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби c плюс d=0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби c= дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но c= дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Итак, урав­не­ние плос­ко­сти EFG имеет вид: минус дробь: чис­ли­тель: 2d, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 4d, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби y плюс дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби z плюс d=0 или

дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби y минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби z минус 1=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x плюс 12y минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та z минус 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та =0 рав­но­силь­но 6x плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та z минус 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та =0.

Нор­маль­ный век­тор этой плос­ко­сти: \overlinen_2= левая круг­лая скоб­ка \overline6;4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

ко­си­нус \varphi = дробь: чис­ли­тель: \left| \overlinen_1 умно­жить на \overlinen_2 |, зна­ме­на­тель: \left| \overlinen_1 | умно­жить на \left| \overlinen_2 | конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \left| 0 умно­жить на 6 плюс 0 умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та |, зна­ме­на­тель: 1 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 плюс 48 плюс 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 91 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 56
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор стереометрии: Пря­мая приз­ма, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025