СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505689

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со стороной и углом А, равным На ребрах AB, B1C1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B1F = FC1 и DG = 3GC. Найдите косинус угла между плоскостями EFG и ABC, если высота призмы равна 4,5.

Решение.

Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке. Прежде чем искать координаты нужных точек, найдем некоторые параметры (элементы) призмы. Поскольку равнобедренный, то — равносторонний, следовательно, DE — высота Значит,

Пусть K — середина DE, F1 — проекция точки F на плоскость нижнего основания.

Теперь выпишем координаты нужных точек.

Уравнение плоскости ABC выглядит так: z = 0, ее нормальный вектор

Теперь составим уравнение плоскости EFG. Общий вид искомого уравнения:

ax + by + cz + d = 0. Для отыскания значений a, b, c решим систему уравнений:

Отсюда:

Найдем значение c.

Итак, уравнение плоскости EFG имеет вид: или

Нормальный вектор этой плоскости:

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 56.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор стереометрии: Прямая призма, Угол между плоскостями