Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 521808
i

На реб­рах NN1 и KN куба KLMNK1L1M1N1 от­ме­че­ны такие точки P и Q, что дробь: чис­ли­тель: KQ, зна­ме­на­тель: QN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: NP, зна­ме­на­тель: PN_1 конец дроби =4. Через точки M1, P, Q про­ве­де­на плос­кость.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость делит объем куба в от­но­ше­нии 61 : 89

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки K до плос­ко­сти се­че­ния, если ребро куба равно 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Оче­вид­но PQ\parallel N_1K\parallel M_1L, по­это­му се­че­ние  — тра­пе­ция QPM_1L. Пусть ребро куба равно x. Вы­чис­лим объем одной из ча­стей.

 

V_LM_1PQNM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на NM умно­жить на левая круг­лая скоб­ка S_MM_1L плюс S_QPN плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S_MM_1L конец ар­гу­мен­та S_QPN пра­вая круг­лая скоб­ка по фор­му­ле объ­е­ма усе­чен­ной пи­ра­ми­ды. Зна­чит,

 

V_LM_1PQNM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 8x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 25 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 25 плюс 16 плюс 20, зна­ме­на­тель: 150 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 61, зна­ме­на­тель: 150 конец дроби , от­ку­да и сле­ду­ет нуж­ный ответ.

 

б)  d левая круг­лая скоб­ка K,QLP пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3V_KLPQ, зна­ме­на­тель: S_LPQ конец дроби = дробь: чис­ли­тель: S_KLQ умно­жить на PN, зна­ме­на­тель: S_LPQ конец дроби .

 

В тра­пе­ции LQPM_1 вы­со­та равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LQ в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка LM_1 минус QP пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LK в квад­ра­те плюс KQ в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби LM_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 25 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 50 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Это за­од­но равно вы­со­те тре­уголь­ни­ка LQP.

 

Тогда по­лу­ча­ем дробь: чис­ли­тель: S_KLQ умно­жить на PN, зна­ме­на­тель: S_LPQ конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 51 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 233
Классификатор стереометрии: Куб, Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, Се­че­ние  — тра­пе­ция, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025