а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка E  — се­ре­ди­на ребра AC, точка P  — се­ре­ди­на ребра SВ.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая РЕ делит вы­со­ту SH пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии

б)  Най­ди­те тан­генс угла между пря­мой РЕ и плос­ко­стью АSС, если из­вест­но, что

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Окруж­ность, по­стро­ен­ная на сто­ро­не BC тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Пря­мые СМ и ВN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Точка О  — се­ре­ди­на АР.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ОМN рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ОМN, если из­вест­но, что

Пред­при­ни­ма­тель Ашот хочет от­крыть в своём го­ро­де не­сколь­ко кафе. Он под­счи­тал, что жи­те­ли го­ро­да тра­тят 50 млн. руб­лей в год на пи­та­ние в кафе, причём эта сумма де­лит­ся по­ров­ну между всеми кафе, ра­бо­та­ю­щи­ми в го­ро­де. Из­вест­но, что функ­ци­о­ни­ро­ва­ние од­но­го кафе об­хо­дит­ся в 2 млн. руб­лей в год. Какую наи­боль­шую при­быль (в млн. руб­лей в год) может по­лу­чить Ашот, если в го­ро­де уже ра­бо­та­ет 9 кафе, от­кры­тых дру­ги­ми пред­при­ни­ма­те­ля­ми?

Най­ди­те все a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

16 уче­ни­ков пишут кон­троль­ную ра­бо­ту, со­став­лен­ную в не­сколь­ких ва­ри­ан­тах. Их ра­бо­чие места рас­по­ло­же­ны в виде квад­ра­та 4 × 4. Будем на­зы­вать пару уче­ни­ков «по­до­зри­тель­ной», если они сидят на со­сед­них (по вер­ти­ка­ли, го­ри­зон­та­ли или диа­го­на­ли) ме­стах и пишут один и тот же ва­ри­ант. (Уче­ник может вхо­дить в не­сколь­ко «по­до­зри­тель­ных» пар).

а)  Может ли не ока­зать­ся ни одной «по­до­зри­тель­ной» пары, если име­ет­ся 4 ва­ри­ан­та кон­троль­ной ра­бо­ты?

б)  Может ли не ока­зать­ся ни одной «по­до­зри­тель­ной» пары, если име­ет­ся 3 ва­ри­ан­та кон­троль­ной ра­бо­ты?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство «по­до­зри­тель­ных» пар, если име­ет­ся 3 ва­ри­ан­та кон­троль­ной ра­бо­ты.