а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро AA₁ равно 3. На реб­рах AB и B₁C₁ от­ме­че­ны точки K и L со­от­вет­ствен­но, причём AK  =  B₁L  =  2. Точка M  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой AC и со­дер­жит точки K и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­на ко­то­рой  — точка M, а ос­но­ва­ние  — се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью γ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Через точку B про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая окруж­но­сти в точ­ках C и D, ле­жа­щих по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой AB. Ка­са­тель­ные к этим окруж­но­стям в точ­ках C и D пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка ACED можно опи­сать окруж­ность

б)  Най­ди­те AE, если AB  =  10, AC  =  16, AD  =  15.

В июле 2019 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на 1 000 000 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле 2020, 2022, 2024, 2026 годах долг дол­жен быть на 100 000 руб­лей мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

  — в осталь­ные годы не­об­хо­ди­мо чтобы долг умень­шал­ся на суммы, от­ли­ча­ю­щи­е­ся друг от друга на 50 000 руб­лей (в 2021 самое круп­ное умень­ше­ние, в 2023  — на 50 000 руб­лей мень­ше и т. д.)

  — в июле 2027 года сумма долга долж­на рав­нять­ся нулю.

Какую сумму не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить банку в те­че­ние всего срока кре­ди­то­ва­ния?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­не­но при любом зна­че­нии x.

Име­ет­ся не­сколь­ко кам­ней, массы ко­то­рых  — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа.

а)  Можно ли раз­ло­жить 10 кам­ней с мас­са­ми 1, 2, 3, ..., 10 по шести куч­кам так, чтобы вес каж­дой кучки не пре­вос­хо­дил 10?

б)  Можно ли раз­ло­жить камни мас­са­ми 370, 372, 374, ..., 468 на семь кучек так, чтобы вес каж­дой кучки не пре­вос­хо­дил 3000?

в)  До­пол­ни­тель­но из­вест­но, что общая сумма масс кам­ней равна 4000, а масса каж­дой кучки, как и каж­до­го камня, не пре­вос­хо­дит 100. Какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство таких кучек при­дет­ся за­дей­ство­вать, чтобы га­ран­ти­ро­ван­но рас­пре­де­лить дан­ные камни?