а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCDEF равна 6. Бо­ко­вое ребро на­кло­не­но к ос­но­ва­нию под углом 45°. Через мень­шую диа­го­наль ос­но­ва­ния АС про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое пе­ре­се­ка­ет про­ти­во­по­лож­ное к ней ребро пи­ра­ми­ды SE на рас­сто­я­нии от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды S.

а)  До­ка­жи­те, что это се­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­но бо­ко­во­му ребру SE.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

На­та­лья Дмит­ри­ев­на вла­де­ет об­ли­га­ци­я­ми, ко­то­рые стоят n² тысяч руб­лей в конце года n В конце лю­бо­го года На­та­лья Дмит­ри­ев­на может их про­дать и по­ло­жить день­ги на счет в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счете будет уве­ли­чи­вать­ся в 1  +  m раз.

На­та­лья Дмит­ри­ев­на хочет про­дать цен­ные бу­ма­ги в конце та­ко­го года, чтобы в конце два­дцать вось­мо­го года сумма на ее счете была наи­боль­шей. Рас­че­ты по­ка­за­ли, что для этого цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце два­дцать тре­тье­го года. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях m это воз­мож­но?

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­нах BC, AC и AB взяты со­от­вет­ствен­но точки A₁, B₁, C₁ так, что пря­мые AA₁, BB₁, CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Пусть Р  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AA₁, BB₁, CC₁. Най­ди­те от­но­ше­ние если из­вест­но, что точки B₁ и C₁ делят сто­ро­ны AC и AB со­от­вет­ствен­но в от­но­ше­ни­ях 3 : 2 и 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны A.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет три корня.

В те­че­ние n дней каж­дый день на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дые из ко­то­рых мень­ше 6. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство чисел мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 8. Может ли n быть боль­ше 7?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 4, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 4,5?

в)  Из­вест­но, что Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­пи­са­но за все эти дни?