Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)   Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Через ребро BC пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ под углом 60° к плос­ко­сти ABC про­ве­де­на плос­кость α. Из­вест­но, что пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α равна а вы­со­та приз­мы равна 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро A₁B₁ в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от точки B₁.

б)  Най­ди­те объем мень­шей части, от­се­ка­е­мой от приз­мы ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды АС и ВD, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке О, при­чем ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­хо­дя­щая через точку С, па­рал­лель­на ВD.

а)  До­ка­жи­те, что DC²  =  АС ∙ СО.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка СDО, если из­вест­но, что AB : ВО  =  3 : 1, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка АСD равна 36.

Саша по­ло­жил не­ко­то­рую сумму в банк на 4 года под 10% го­до­вых. Од­но­вре­мен­но с ним Паша такую же сумму по­ло­жил на два года в дру­гой банк под 15% го­до­вых. Через два года Паша решил про­длить срок вкла­да еще на 2 года. Од­на­ко к тому вре­ме­ни про­цент­ная став­ка по вкла­дам в этом банке из­ме­ни­лась и со­став­ля­ла уже p% го­до­вых. В итоге через че­ты­ре года на счету у Паши ока­за­лась боль­шая сумма, чем у Саши, при­чем эта раз­ность со­ста­ви­ла менее 10% от суммы, вло­жен­ной каж­дым пер­во­на­чаль­но. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное целое зна­че­ние про­цент­ной став­ки.

Для каж­до­го a опре­де­ли­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Среди 9 монет оди­на­ко­во­го до­сто­ин­ства одна фаль­ши­вая  — ее вес мень­ше, чем у на­сто­я­щих. Как при по­мо­щи двух взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь вы­де­лить фаль­ши­вую мо­не­ту?

б)  Из­вест­но, что среди гирь до­сто­ин­ством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря от­ли­ча­ет­ся по весу от мар­ки­ров­ки, ука­зан­ной на ней. Можно ли при по­мо­щи двух взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь вы­де­лить «не­пра­виль­ную» гирю?

в)  Среди 12 монет оди­на­ко­во­го до­сто­ин­ства одна фаль­ши­вая  — ее вес от­ли­ча­ет­ся от веса на­сто­я­щих, но не­из­вест­но, легче она на­сто­я­щих или тя­же­лее. За какое наи­мень­шее число взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь можно вы­де­лить фаль­ши­вую мо­не­ту и при этом уста­но­вить, легче она или тя­же­лее на­сто­я­щих?