В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.
Решение:
Задачу решим несколькими методами.
а) Методом объемов.
Пусть 
— высота заданной правильной пирамиды,
SM — ее апофема, 
— медианы основания, 
Поскольку 
а это значит, что 
т. е. 
Пусть 
Тогда
Замечание:
Поскольку центр вписанного шара равноудалена от всех граней заданной пирамиды, то это обстоятельство позволяет выразить радиус шара, вписанного в пирамиду, через объем пирамиды и площадь ее полной поверхности. Мы имеем возможность мысленно разбить заданную пирамиду на четыре пирамиды, основаниями которых будут служить грани заданной пирамиды, а высоты их будут равны радиусу искомого шара. Так как объем заданной пирамиды V будет равен сумме объемов пирамид, составляющих эту пирамиду, то понятно, что 
где r — искомый радиус.
б) Использование тангенса половинного угла.
Искомый центр вписанного шара будет лежать на SO (а это надо бы доказать!). Кроме того, центр вписанного шара есть точка пересечения биссектрис линейных углов двугранных углов, образуемых боковыми гранями и основанием заданной пирамиды. Таким образом, центр шара лежит на пересечении высоты пирамиды SO и биссектрисы угла 
Если это — точка 
то 
и есть искомый радиус.
Вычислив OM и SM, можно найти косинус угла 
Тогда по формуле тангенса половинного угла сможем вычислить и значение тангенса угла 
в) Метод площадей.
Пусть 
Тогда 
В прямоугольном треугольнике SOD по теореме Пифагора имеем:
Будем иметь в виду, что центр вписанного шара (сферы) лежит на 
Обозначим эту точку Опустим из нее перпендикуляр 
к грани 
Ясно, что 
где r — радиус шара (сферы). Теперь соединим точку 
отрезком с точкой 
Треугольник SOD разбивается на два треугольника: 
и 
г) Координатный метод исследования.
Поместим пирамиду в декартову систему координат, как показано на рисунке. Пусть Тогда 
Для дальнейшего исследования этих расстояний нам вполне достаточно.
Будем иметь в виду, что центр вписанного шара (сферы) лежит на Обозначим эту точку 
Тогда радиус шара (сферы) равен 
Зная, что точка удалена от грани ASCна то же расстояние, что и от основания ABC, для достижения цели найти искомый радиус, используем формулу расстояния от точки до плоскости.
Найдем координаты точек 
В нашем случае очень легко составить уравнения плоскостей ASC и 
Ясно, что уравнение плоскости ABC заведомо имеет вид: 
Составим уравнение плоскости ASC, имея в виду, что в этой же плоскости лежит также точка
В системе, приведенной ниже, первое уравнение учитывает принадлежность точки D, второе — принадлежность точки S, а третье — принадлежность точки 
Таким образом, искомое уравнение имеет вид: 
или 
Теперь нетрудно найти расстояние 
от точки 
до плоскости
Поскольку 
то 
Очевидно, что 
Следовательно, 
д) Метод подобия.
Пусть
Тогда 
В прямоугольном треугольнике SOD по теореме Пифагора имеем:
Будем иметь в виду, что центр вписанного шара (сферы) лежит на Обозначим эту точку Опустим из нее перпендикуляр к грани ASC. Ясно, что 
где r — радиус шара (сферы).
Теперь соединим точку отрезком с точкой
Прямоугольные треугольники 
и SOD подобны как имеющие общий острый угол. Значит, 
Будем иметь в виду, что 
В таком случае: 
Ответ: 