Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 532053

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра АВ, точка Р — середина ребра ВС. Через точки K, P, D1 проведена плоскость α.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α можно разбить на две части, одна из которых равнобедренный треугольник, а другая — равнобокая трапеция.

б) Найдите периметр сечения призмы плоскостью α, если известно, что сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 6.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть плоскость KPD1 пересекает AA1 в точке M, а CC1 в точке N. KP параллельна AC, следовательно, KPD1 параллельна AC. MN лежит в плоскости AA_1C_1C и KPD_1, значит, MN параллельна AC. Таким образом, AMNC — параллелограмм MA = NC, AK = PC, поэтому, MK = NC, MN, AC и KP параллельны между собой, то есть KMNP — равнобедренная трапеция.

Заметим, что A1M1 = C1N, A1D1 = D1C1, таким образом, треугольник D_1MN равнобедренный, D_1M=D_1N.

б) Найдём соотношение в котором MN делит ребра AA_1 и CC_1. Рассмотрим плоскость BB_1D_1D. R — точка пересечения плоскости с KP, а Q — с MN, O — центр грани ABCD. Имеем: AC=BD=8 корень из 2, OR= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби BD=2 корень из 2, OD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BD=4 корень из 2.

Значит,

 дробь: числитель: QO, знаменатель: DD_1 конец дроби = дробь: числитель: OR, знаменатель: RD конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 2, знаменатель: 6 корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,

QO=AM=CN=2,

MA_1=NC_1=4,

KP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC=4 корень из 2

Тогда:

MK=NP= корень из AK в квадрате плюс AM в квадрате =2 корень из 5,

MD_1=ND_1= корень из AD_1 в квадрате плюс A_1M в квадрате =4 корень из 5

P_KMD_1NP=4 корень из 2 плюс 2 умножить на 2 корень из 5 плюс 2 умножить на 4 корень из 5=4 корень из 2 плюс 12 корень из 5

Ответ: б) 4 корень из 2 плюс 12 корень из 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)2
Выполнен только один из пунктов а) или б)1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл2

 

*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 301., Задания 14 ЕГЭ–2020