Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.                                           

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ с ниж­ним ос­но­ва­ни­ем ABC и бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁, BB₁, CC₁ рас­се­че­на плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, F, C, где точка E яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AA₁, точка F лежит на ребре BB₁, при­чем BF : FB₁  =  1 : 2. 

а)  До­ка­жи­те, что объем части приз­мы ABCA₁B₁C ₁, за­клю­чен­ный между се­ку­щей плос­ко­стью и ниж­ним ос­но­ва­ни­ем этой приз­мы со­став­ля­ет  объ­е­ма приз­мы.

б)  Най­ди­те угол между ниж­ним ос­но­ва­ни­ем приз­мы и плос­ко­стью се­че­ния, если приз­ма ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная и все ее ребра равны между собой.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Пря­мая, па­рал­лель­ная ги­по­те­ну­зе AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет катет  АС в точке  D, катет  BC  — в точке E, при­чем DE  =  2 и BE  =  1. На ги­по­те­ну­зе взята точка F так, что BF  =  1, ве­ли­чи­на угла FCB равна 30°.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BFE рав­но­сто­рон­ний.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Кол­хоз арен­до­вал два экс­ка­ва­то­ра. Арен­да пер­во­го экс­ка­ва­то­ра стоит 60 руб­лей в день, про­из­во­ди­тель­ность его в мяг­ком грун­те со­став­ля­ет 250 м³ в день, в твер­дом грун­те  — 150 м³ в день. Арен­да вто­ро­го экс­ка­ва­то­ра стоит 50 руб­лей в день, его про­из­во­ди­тель­ность в мяг­ком грун­те 480 м³ в день, а в твер­дом  — 100 м³ в день. Пер­вый про­ра­бо­тал не­сколь­ко пол­ных дней и вырыл 720 м³. Вто­рой за не­сколь­ко пол­ных дней вырыл 330 м³. Сколь­ко дней ра­бо­тал каж­дый экс­ка­ва­тор, если кол­хоз за­пла­тил за арен­ду не более 300 руб­лей.

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два ре­ше­ния?

Из целых чисел от 1 до 100 уда­ли­ли k чисел. Обя­за­тель­но ли среди остав­ших­ся чисел можно вы­брать k раз­лич­ных чисел с сум­мой 100, если

а)  k  =  9;

б)  k  =  8?