Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 514568
i

Ос­но­ва­ние пря­мой приз­мы ABCDA1B1C1D1 слу­жит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точка P  — се­ре­ди­на ребра AB.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые раз­би­ва­ет приз­му плос­кость PCD1, равно 7 : 17.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью PCD1, если из­вест­но, что AB  =  8, AD  =  3, AA1  =  4, ∠BAD  =  120°.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Про­длим пря­мую CP до пе­ре­се­че­ния с пря­мой AD в точке E. Тогда AP  — сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке ECD (па­рал­лель­на ос­но­ва­нию и равна его по­ло­ви­не), зна­чит, AE=AD.

Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния AA_1 и ED_1. Оче­вид­но, K  — се­ре­ди­на AA_1. Се­че­ние  — тра­пе­ция PKD_1C.

V_PKD_1CDA=V_EDD_1C минус V_EAPK= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби V_EDD_1C= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби D_1D умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ED умно­жить на DC синус \angle EDC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =

 

= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби умно­жить на DD_1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 AD умно­жить на DC синус \angle EDC = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби DD_1 умно­жить на AD умно­жить на DC синус \angle EDC= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби V_A\ldots D_1,

по­это­му от­но­ше­ние объ­е­мов равно 7: левая круг­лая скоб­ка 24 минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =7:17.

б)  Оче­вид­но, S_CD_1KP=S_CD_1E минус S_PKE= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_CD_1E.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка CDE имеем CE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 плюс 36 минус 96 ко­си­нус 60 в сте­пе­ни o конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 52 конец ар­гу­мен­та .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка D_1DE имеем D_1E= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 плюс 16 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 52 конец ар­гу­мен­та .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка D_1DC имеем D_1C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 плюс 16 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 80 конец ар­гу­мен­та .

Итак, тре­уголь­ник CD_1E рав­но­бед­рен­ный, а его вы­со­та к ос­но­ва­нию равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 52 минус дробь: чис­ли­тель: 80, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 32 конец ар­гу­мен­та .

Окон­ча­тель­но имеем S_CD_1KP= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_CD_1E= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 80 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 32 конец ар­гу­мен­та =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 156
Классификатор стереометрии: Пло­щадь се­че­ния, По­стро­е­ния в про­стран­стве, Пря­мая приз­ма, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025