Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 514568

Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 служит параллелограмм ABCD. Точка P — середина ребра AB.

а) Докажите, что отношение объёмов многогранников, на которые разбивает призму плоскость PCD1, равно 7 : 17.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью PCD1, если известно, что AB = 8, AD = 3, AA1 = 4, ∠BAD = 120°.

Спрятать решение

Решение.

а) Продлим прямую CP до пересечения с прямой AD в точке E. Тогда AP — средняя линия в треугольнике ECD (параллельна основанию и равна его половине), значит, AE=AD.

Пусть K — точка пересечения AA_1 и ED_1. Очевидно, K — середина AA_1. Сечение — трапеция PKD_1C.

V_PKD_1CDA=V_EDD_1C минус V_EAPK= дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби V_EDD_1C= дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби D_1D умножить на дробь: числитель: ED умножить на DC синус \angle EDC, знаменатель: 2 конец дроби =

 

= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби умножить на DD_1 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 AD умножить на DC синус \angle EDC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби DD_1 умножить на AD умножить на DC синус \angle EDC= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби V_A\ldots D_1,

поэтому отношение объемов равно 7: левая круглая скобка 24 минус 7 правая круглая скобка =7:17.

б) Очевидно, S_CD_1KP=S_CD_1E минус S_PKE= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби S_CD_1E.

По теореме косинусов для треугольника CDE имеем CE= корень из 64 плюс 36 минус 96 косинус 60 в степени o = корень из 52.

По теореме Пифагора для треугольника D_1DE имеем D_1E= корень из 36 плюс 16= корень из 52.

По теореме Пифагора для треугольника D_1DC имеем D_1C= корень из 64 плюс 16= корень из 80.

Итак, треугольник CD_1E равнобедренный, а его высота к основанию равна  корень из 52 минус дробь: числитель: 80, знаменатель: 4 конец дроби = корень из 32.

Окончательно имеем S_CD_1KP= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби S_CD_1E= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 80 умножить на корень из 32=6 корень из 10.

 

Ответ: 6 корень из 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 156.