Основание пирамиды SABCD — квадрат ABCD боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. BC = 2SA. Точка M — середина ребра AD.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую SM параллельно BD, — равносторонний треугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми SM и BD, если 
а) Пусть AM = MD = a, тогда AB = AD = 2a. Проведем через точку M прямую, параллельную BD. Пусть она пересекает AB в точке N. Очевидно, что прямая MN лежит в сечении, значит, искомым сечением является треугольник SMN. Отрезок MN — средняя линия треугольника ABD, следовательно,
Треугольники SAM и SAN равны, поэтому 
Тогда треугольник SMN — равносторонний.
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до плоскости, проходящей через вторую параллельно первой. Значит, достаточно узнать расстояние от BD до плоскости SMN. Рассмотрим плоскость SAC: пусть K — середина MN, тогда плоскость SAC пересекает SMN по прямой SK, а точка О является точкой пересечения прямых BD и SAC. Плоскость SAC перпендикулярна BD, следовательно, SAC перпендикулярно MN. Опустим из точки O перпендикуляр OH на SK, тогда OH перпендикулярен MN и SMN. Таким образом, OH — искомое расстояние. Найдем его.
Треугольники OKH и SAK подобны, поэтому
откуда
По условию 
тогда OH = 3.
Ответ: 3.