Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 527387

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 3. На ребрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK = B1L = 2. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

Спрятать решение

Решение.

а) Так как плоскость γ параллельна прямой AC, она пересекает основание трапеции по прямым, параллельным AC. Пусть K_1=BC\cap гамма , L_1=A_1B_1\cap гамма . Прямые KK_1, LL_1 и AC параллельны. Сечением будет являться равнобедренная трапеция KK_1LL_1.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через медиану B_1M перпендикулярно основаниям трапеции. Оно будет являться прямоугольником B_1MM_1B, где M_1 — середина AC. Пусть это сечение пересекает плоскость γ по прямой ST, где S — середина LL_1, а T — середина KK_1. Точка O — точка пересечения прямых BM и ST. Заметим, что BM=BM_1=3 корень из 3, как медианы равностороннего треугольника. Так как треугольники BLL_1, BKK_1 и ABC подобны, B_1S=TM_1= корень из 3, SM=BR=2 корень из 3. Пусть T_1 — проекция T на B_1M, а S_1 — проекция S на BM_1, отсюда очевидно, что O — середина BM и середина ST. Далее:

BO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из BM_1 в квадрате плюс MM_1 в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из 27 плюс 9=3,

OT= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из S_1T в квадрате плюс SS_1 в квадрате = корень из 3 плюс 9= корень из 3,

BO в квадрате плюс OT в квадрате =3 плюс 9=12= левая круглая скобка 2 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате =BR.

То есть для треугольника BOT выполнена теорема, обратная теореме Пифагора. Следовательно, прямая BM перпендикулярна прямой ST. Кроме этого, BM перпендикулярна прямой A_1C_1, следовательно, BM перпендикулярна плоскости γ, что и требовалось доказать.

б) Поскольку, из пункта а, прямая BM перпендикулярна плоскости γ, прямая MO=3 — высота пирамиды. Основанием является равнобедренная трапеция KK_1LL_1 с высотой ST=2 корень из 3 и основанием KK_1=4 и LL_1=2, отсюда:

S_KK_1LL_1= дробь: числитель: 4 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 корень из 3=6 корень из 3,

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 6 корень из 3 умножить на 3=6 корень из 3.

Ответ: 6 корень из 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 279.