В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 3. На ребрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK = B1L = 2. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.
а) Так как плоскость γ параллельна прямой AC, она пересекает основание трапеции по прямым, параллельным AC. Пусть 
Прямые 
и AC параллельны. Сечением будет являться равнобедренная трапеция 
Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через медиану 
перпендикулярно основаниям трапеции. Оно будет являться прямоугольником 
где 
— середина AC. Пусть это сечение пересекает плоскость γ по прямой ST, где S — середина 
а T — середина 
Точка O — точка пересечения прямых BM и ST. Заметим, что 
как медианы равностороннего треугольника. Так как треугольники 
и ABC подобны, 
Пусть 
— проекция T на 
а 
— проекция S на 
отсюда очевидно, что O — середина BM и середина ST. Далее:
То есть для треугольника BOT выполнена теорема, обратная теореме Пифагора. Следовательно, прямая BM перпендикулярна прямой ST. Кроме этого, BM перпендикулярна прямой 
следовательно, BM перпендикулярна плоскости γ, что и требовалось доказать.
б) Поскольку, из пункта а, прямая BM перпендикулярна плоскости γ, прямая 
— высота пирамиды. Основанием является равнобедренная трапеция 
с высотой 
и основанием 
и 
отсюда:
Ответ: 