Через середину ребра AC правильной треугольной пирамиды SABC (S — вершина) проведены плоскости α и β, каждая из которых образует угол 30° с плоскостью ABC. Сечения пирамиды этими плоскостями имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани ABC, а плоскость α перпендикулярна ребру SA.
а) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью β.
Введем обозначения. Точки M, N, K — середины ребер AC, AB, BC соответственно, O — точка пересечения MN и AK, H — основание перпендикуляра, опущенного из M на AS, T — такая точка на SK, что 
Q и P — точки на ребрах SB и SC соответственно такие, что прямая QP параллельна прямой BC и 
Очевидно, 
Поскольку 
точка N также принадлежит плоскости, проходящей через H перпендикулярно к AS. Следовательно, 
откуда 
Поскольку плоскость SAK перпендикулярна BC, а значит, и MN, то именно в ней следует искать лучи, образующие вместе с OA и OK линейные углы описанных в условии двугранных углов. Следовательно, это 
а) Имеем:
поэтому 
б) Поскольку 
и 
сечение плоскостью 
есть QPMN. Это трапеция, поэтому ее площадь равна 
Как уже известно, 
Пусть 
тогда 
Напишем теорему косинусов для треугольника SAK:
откуда 
По теореме синусов для того же треугольника:
Значит, 
Далее:
По теореме синусов для треугольника OTK получаем 
Значит, 
Имеем: 
поэтому 
Значит, 
Треугольники SQP и SBC подобны, а отношение их высот мы нашли, поэтому 
Наконец,
Ответ а) 
б) 