Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 527458

В правильной треугольной пирамиде SABC точка E — середина ребра AC, точка P — середина ребра .

а) Докажите, что прямая РЕ делит высоту SH пирамиды в отношении 1:3.

б) Найдите тангенс угла между прямой РЕ и плоскостью АSС, если известно, что AB=6 корень из 3, SA=10.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что H лежит на отрезке BE и делит его в отношении 2:1. Пусть Q — точка пересечения SH и PE (они лежат в плоскости BSE, поэтому пересекаются). По теореме Менелая для треугольника BSH и прямой PQE имеем:  дробь: числитель: BP, знаменатель: PS конец дроби умножить на дробь: числитель: SQ, знаменатель: QH конец дроби умножить на дробь: числитель: HE, знаменатель: EB конец дроби =1, откуда SQ:QH=1:3.

б) Опустим перпендикуляр из P на SE. Проекция этого перпендикуляра на плоскость BC содержит середину BH (проекцию P) и какую-то точку на отрезке HE — проекции SE. Значит, проекцией перпендикуляра будет прямая BE перпендикулярна прямой AC. По теореме о трех перпендикулярах сам перпендикуляр тогда будет тоже перпендикулярен AC и, раз он перпендикулярен двум пересекающимся прямым в SAC, то он перпендикулярен и всей плоскости SAC. Поэтому проекция PE на плоскость грани SAC — прямая SE и нам нужно найти  тангенс \angle PES.

В треугольнике PES имеем:

PS= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BS=5;

SE= корень из SA в квадрате минус AE в квадрате = корень из 100 минус 27= корень из 73.

Прямая PE — медиана треугольника SBE, поэтому

PE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из 2BE в квадрате плюс 2ES в квадрате минус BS в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби BC в квадрате плюс 2 умножить на 73 минус 100=2 корень из 13.

По теореме косинусов для треугольника PES получаем

 25=73 плюс 52 минус 4 корень из 13 корень из 73 косинус \angle PES,

откуда

 косинус \angle PES= дробь: числитель: 25, знаменатель: корень из 949 конец дроби .

Тогда

 синус \angle PEC= корень из 1 минус дробь: числитель: 625, знаменатель: 949 конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из 949 конец дроби

и  тангенс \angle PES= дробь: числитель: 18, знаменатель: 25 конец дроби .

 

Ответ: б)  дробь: числитель: 18, знаменатель: 25 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 263.