а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3. На ребре от­ме­че­на точка L так, что Точки K и M  — се­ре­ди­ны ребер AB и со­от­вет­ствен­но. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой АС и со­дер­жит точки K и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вер­ши­на ко­то­рой  — точка M, а ос­но­ва­ние  — се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью γ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, а BH  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что углы ABH и CBO равны.

б)  Най­ди­те BH, если

В рас­по­ря­же­нии про­ра­ба име­ет­ся бри­га­да ра­бо­чих в со­ста­ве 26 че­ло­век. Их нужно рас­пре­де­лить на стро­и­тель­ство двух част­ных домов, на­хо­дя­щих­ся в раз­ных го­ро­дах. Если на стро­и­тель­стве пер­во­го дома ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет д. е. Если на стро­и­тель­стве вто­ро­го дома ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет д. е. До­пол­ни­тель­ные су­точ­ные на­клад­ные рас­хо­ды (транс­порт, пи­та­ние и т. п.) об­хо­дят­ся в 4 д. е. в расчёте на од­но­го ра­бо­че­го при стро­и­тель­стве пер­во­го дома и в 3 д. е. при стро­и­тель­стве вто­ро­го дома. Как нужно рас­пре­де­лить на эти объ­ек­ты ра­бо­чих бри­га­ды, чтобы все вы­пла­ты на их су­точ­ное со­дер­жа­ние (т. е. су­точ­ная зар­пла­та и су­точ­ные на­клад­ные рас­хо­ды) ока­за­лись наи­мень­ши­ми? Сколь­ко д. е. в сумме при таком рас­пре­де­ле­нии со­ста­вят все су­точ­ные за­тра­ты (на зар­пла­ту и на­клад­ные рас­хо­ды)?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых хотя бы одно ре­ше­ние не­ра­вен­ства

при­над­ле­жит от­рез­ку [1; 2].

а)  При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа, про­из­ве­де­ние цифр де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­ро­го в 10 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

б)  Су­ще­ству­ет ли такое четырёхзнач­ное число, про­из­ве­де­ние цифр де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­ро­го в 175 раз боль­ше суммы цифр этого числа?

в)  Най­ди­те все такие четырёхзнач­ные числа, про­из­ве­де­ние цифр де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­рых в 50 раз боль­ше суммы цифр этого числа.