Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC (ABC  — ос­но­ва­ние) M  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани PBC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AM делит вы­со­ту РО пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от точки P.

б)  Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках А, В, M, P, ели из­вест­но, что AB = 12, PC = 10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность ω₁ с цен­тром O₁ и окруж­ность ω₂ с цен­тром O₂ ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Из точки O₁ к ω₂ про­ве­де­на ка­са­тель­ная O₁A, а из точки O₂ к ω₁ про­ве­де­на ка­са­тель­ная O₁B (А и В  — точки ка­са­ния).

А)  До­ка­жи­те, что углы O₁AB и O₁O₂B равны.

Б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка O₁O₂AB, если из­вест­но, что точки ка­са­ния А и В лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой O₁O₂, а ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 2 и 3.

Вла­ди­мир по­ме­стил в банк 3600 тысяч руб­лей под 10% го­до­вых. В конце каж­до­го из пер­вых двух лет хра­не­ния после на­чис­ле­ния про­цен­тов он до­пол­ни­тель­но вно­сил на счет одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму. К концу тре­тье­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов ока­за­лось, что раз­мер вкла­да уве­ли­чил­ся по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным на 48,5%. Какую сумму Вла­ди­мир еже­год­но до­бав­лял к вкла­ду?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два ре­ше­ния.

А)  При каком наи­боль­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, то среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

Б)  При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

В)  При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся по край­ней мере 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?