Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.
Решение:
Пусть SABCD — заданная пирамида, О — центр основания. Тогда SO — высота пирамиды. И пусть для определенности плоскость сечения проходит через точку B — вершину основания, перпендикулярно ребру 
Построим сечение. Проведем последовательно:
1) 
2) 
3) Отрезки: 
Докажем, что MTBP — сечение, удовлетворяющее условию задачи.
Во-первых, точки 
лежат в одной плоскости, так как эта плоскость проходит через две пересекающиеся прямые MP и 
Во-вторых, докажем, что 
по способу построения. 
так как SD — наклонная к плоскости основания пирамиды, D — ее проекция, 
по свойству квадрата; 
по теореме о трех перпендикулярах.
Поскольку 
то 
Итак, прямая SD перпендикулярна двум пересекающимся прямым BTи MP, лежащим в плоскости 
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости 
Пусть 
Тогда в равнобедренном треугольнике DSB SO — биссектриса, следовательно, 
Искомое отношение 
В прямоугольных треугольниках BOK и 
как вертикальные. Отсюда: 
Пусть 
тогда 
В 
Рассмотрим 
и 
Поскольку 
то эти треугольники подобны. Отсюда: 
т. е. 
Для вычисления площади сечения докажем, что его диагонали взаимно перпендикулярны, т. е. 
значит, 
— наклонная к (MTP), TK — ее проекция, из перпендикулярности SK и PM по теореме о трех перпендикулярах следует, что 
В таком случае: 
По условию известно, что 
Следовательно,
Причем 
потому не удовлетворяет смыслу задачи, 
Найденное значение 
и есть искомое отношение.
Замечания:
1. Запись в построении сечения «
» следует читать так:
«Строим точку T на прямой SD, такую, что BT перпендикулярно SD, точкой пересечения BT и 
служит точка K». Остальные записи читаются аналогично.
2. Известно, что прямая, параллельная какой-либо стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный первому.
3. В подобных треугольниках отношение любых соответственных линейных элементов (биссектрис, медиан, периметров и т. п.) равно коэффициенту подобия.
Ответ: 