Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 506033

Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.

Спрятать решение

Решение.

Решение:

Пусть SABCD — заданная пирамида, О — центр основания. Тогда SO — высота пирамиды. И пусть для определенности плоскость сечения проходит через точку B — вершину основания, перпендикулярно ребру SD.

Построим сечение. Проведем последовательно:

1) T принадлежит SD,BT\bot SD,BT\bigcap SO=K.

2) MP,M принадлежит S,P принадлежит SC,MP||AC.

3) Отрезки: MT, MB, BP, PT.

Докажем, что MTBP — сечение, удовлетворяющее условию задачи.

Во-первых, точки M, T, P, В лежат в одной плоскости, так как эта плоскость проходит через две пересекающиеся прямые MP и ВТ.

Во-вторых, докажем, что SD\bot левая круглая скобка MBP правая круглая скобка .

SD\bot BT по способу построения. AC\bot SD, так как SD — наклонная к плоскости основания пирамиды, D — ее проекция, DO\bot AC по свойству квадрата; A\bot SD по теореме о трех перпендикулярах.

Поскольку MP||AC, SD\bot AC, то SD\bot MP.

Итак, прямая SD перпендикулярна двум пересекающимся прямым BTи MP, лежащим в плоскости MBP. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AS\bot левая круглая скобка MPB правая круглая скобка .

Пусть \angle OSD= альфа . Тогда в равнобедренном треугольнике DSB SO — биссектриса, следовательно, \angle BSO= альфа . Искомое отношение  дробь: числитель: SO, знаменатель: SD конец дроби = косинус альфа .

В прямоугольных треугольниках BOK и STK\angle SKT=\angle BKO как вертикальные. Отсюда: \angle KST=\angle KBO= альфа , \angle SDB=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа . Пусть AB=BC=CD=DA=a, тогда AC=BD=a корень из 2, AO=CO=DO=BO= дробь: числитель: a корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби . OK=BO умножить на тангенс альфа = дробь: числитель: a корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби тангенс альфа .

В \Delta SOD SO=DO умножить на тангенс левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка = дробь: числитель: a корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби c тангенс альфа . SK=SO минус OK= дробь: числитель: a корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка c тангенс альфа минус тангенс альфа правая круглая скобка .

Рассмотрим \Delta ASC и MSP. Поскольку MP||AC, то эти треугольники подобны. Отсюда:  дробь: числитель: MP, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: SK, знаменатель: SO конец дроби , т. е. MP=AC умножить на дробь: числитель: SK, знаменатель: SO конец дроби =a корень из 2 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: a корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка c тангенс альфа минус тангенс альфа правая круглая скобка , знаменатель: дробь: числитель: a корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби c тангенс альфа конец дроби =a корень из 2 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: тангенс альфа , знаменатель: c тангенс альфа конец дроби правая круглая скобка =a корень из 2 левая круглая скобка 1 минус тангенс в квадрате альфа правая круглая скобка .

Для вычисления площади сечения докажем, что его диагонали взаимно перпендикулярны, т. е. MP\bot DT. MP||AC, SO\bot AC, значит, SK\bot MP.

\angle STK=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , SK — наклонная к (MTP), TK — ее проекция, из перпендикулярности SK и PM по теореме о трех перпендикулярах следует, что TK\bot MP. В таком случае: S левая круглая скобка MTPB правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MP умножить на BT.

BT=BD умножить на косинус альфа =a корень из 2 косинус альфа , S левая круглая скобка MTPB правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на a корень из 2 левая круглая скобка 1 минус тангенс в квадрате альфа правая круглая скобка умножить на a корень из 2 косинус альфа =a в квадрате левая круглая скобка 1 минус тангенс в квадрате альфа правая круглая скобка умножить на косинус альфа =

=a в квадрате левая круглая скобка косинус альфа минус дробь: числитель: синус в квадрате альфа умножить на косинус альфа , знаменатель: косинус в квадрате альфа конец дроби правая круглая скобка =a в квадрате умножить на дробь: числитель: косинус в квадрате альфа минус 1 плюс косинус в квадрате альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате левая круглая скобка 2 косинус в квадрате альфа минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа конец дроби . S левая круглая скобка ABCD правая круглая скобка =a в квадрате .

 

По условию известно, что S левая круглая скобка ABCD правая круглая скобка =2 умножить на S левая круглая скобка MTPB правая круглая скобка .

Следовательно,

 дробь: числитель: 2a в квадрате левая круглая скобка 2 косинус в квадрате альфа минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа конец дроби =a в квадрате равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате альфа минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа конец дроби =1 равносильно 4 косинус в квадрате альфа минус косинус альфа минус 2=0 равносильно совокупность выражений  новая строка косинус альфа = дробь: числитель: 1 минус корень из 1 плюс 32, знаменатель: 8 конец дроби , новая строка косинус альфа = дробь: числитель: 1 плюс корень из 33, знаменатель: 8 конец дроби . конец совокупности .

 

Причем  косинус альфа = дробь: числитель: 1 минус корень из 33, знаменатель: 8 конец дроби меньше 0, потому не удовлетворяет смыслу задачи,  косинус альфа = дробь: числитель: 1 плюс корень из 33, знаменатель: 8 конец дроби больше 0. Найденное значение  косинус альфа и есть искомое отношение.

Замечания:

1. Запись в построении сечения «T принадлежит SD,BT\bot SD,BT\bigcap SO=K» следует читать так:

«Строим точку T на прямой SD, такую, что BT перпендикулярно SD, точкой пересечения BT и SО служит точка K». Остальные записи читаются аналогично.

2. Известно, что прямая, параллельная какой-либо стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный первому.

3. В подобных треугольниках отношение любых соответственных линейных элементов (биссектрис, медиан, периметров и т. п.) равно коэффициенту подобия.

 

Ответ:  дробь: числитель: 1 плюс корень из 33, знаменатель: 8 конец дроби

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 32.