Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны между собой. Через центр верх­не­го ос­но­ва­ния приз­мы и се­ре­ди­ны двух ребер ниж­не­го ос­но­ва­ния про­ве­де­на плос­кость β.

а)  Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость β с плос­ко­стью ABC.             

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью β, если из­вест­но, что ребро приз­мы равно 6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В ромб впи­са­на окруж­ность Θ. Окруж­но­сти w₁ и w₂ (раз­но­го ра­ди­у­са) рас­по­ло­же­ны так, что каж­дая ка­са­ет­ся окруж­но­сти Θ и двух со­сед­них сто­рон ромба. 

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь круга, огра­ни­чен­но­го окруж­но­стью Θ, со­став­ля­ет менее 80% пло­ща­ди ромба.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей w₁ и w₂, если из­вест­но, что диа­го­на­ли ромба от­но­сят­ся, как 1 : 2. 

Эль­ви­ра взяла в кре­дит 1 млн. руб­лей на срок 36 ме­ся­цев. По до­го­во­ру она долж­на воз­вра­щать банку часть денег в конце каж­до­го ме­ся­ца. Каж­дый месяц общая сумма долга воз­рас­та­ет на 10%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Эль­ви­рой банку в конце ме­ся­ца. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые Эль­ви­рой, под­би­ра­ют­ся так, чтобы сумма долга умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц. На сколь­ко тысяч руб­лей боль­ше Эль­ви­ра  вы­пла­тит банку в те­че­ние пер­во­го года кре­ди­то­ва­ния, не­же­ли в те­че­ние тре­тье­го года? 

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один дей­стви­тель­ный ко­рень.

а)  В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Рас­смот­рим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

б)  В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа –1, 0 и 1 (каж­дое из этих чисел встре­ча­ет­ся хотя бы один раз). Рас­смот­рим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся раз­лич­ны­ми?

в)  В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны де­вять раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Рас­смот­рим во­семь про­из­ве­де­ний: про­из­ве­де­ния трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти про­из­ве­де­ния ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?