До­ка­жем, что ребро AD пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Пусть это не так, тогда за­ме­тим, что лучи АВ и АС лежат по раз­ные сто­ро­ны от АК, и по­это­му один из углов DAB или DAC  — тупой. Но тогда один из тре­уголь­ни­ков ABD или ACD не может быть пря­мо­уголь­ным, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Сле­до­ва­тель­но, AD пер­пен­ди­ку­ляр­но ABC.

Те­перь до­ка­жем, что плос­кость се­че­ния па­рал­лель­на ребру BC. Рас­смот­рим па­рал­лель­ные сто­ро­ны се­че­ния, они долж­ны быть па­рал­лель­ны ка­ко­му-то из ребер AD, BC, CD, AB (это сле­ду­ет из того, что две плос­ко­сти, про­хо­дя­щие через па­рал­лель­ные пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой, па­рал­лель­ной дан­ным пря­мым). Если пря­мая EF па­рал­лель­на пря­мой CD, то F яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра BC, а это не­воз­мож­но по усло­вию. Пусть те­перь пря­мая EF па­рал­лель­на пря­мой AB, тогда F яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AD, что также не­воз­мож­но. Если пря­мая EF па­рал­лель­на пря­мой AD, то тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, то есть не может быть рав­но­бед­рен­ной. Зна­чит, ос­но­ва­ния тра­пе­ции EFGH па­рал­лель­ны ребру BC.

Пусть далее

1.  Точка E  — се­ре­ди­на BD, пря­мая EF па­рал­лель­на пря­мой BC, сле­до­ва­тель­но, F  — се­ре­ди­на DC. Пусть   — про­ек­ции точек E и F на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Тогда: т. к. тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, тогда и   — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Тогда

и BAC  — рав­но­бед­рен­ный. Пря­мая AK  — ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, пря­мая AK пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, и тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая DK пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC.

2.  Из тре­уголь­ни­ка DAK най­дем тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDC равна

3.  Имеем: EN  — вы­со­та тра­пе­ции EFGH, тогда пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой HG и пря­мая па­рал­лель­на пря­мой AK. Далее,

тогда:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции EFGH:

4.  В итоге по­лу­ча­ем:

Ответ: