а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник, длина сто­ро­ны ко­то­ро­го равна Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты, опу­щен­ной из вер­ши­ны S, яв­ля­ет­ся точка О, ле­жа­щая внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC. Рас­сто­я­ние от точки О до сто­ро­ны АС равно 1. Синус угла OBA от­но­сит­ся к си­ну­су угла OBC как Пло­щадь грани SAB равна

а)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до плос­ко­сти SBC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в точке D и бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке E. Точка F  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, а точка G  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти и от­рез­ка FD, от­лич­ная от D. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­хо­дя­щая через точку G, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке H. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те

Два оди­на­ко­вых поля тре­бу­ет­ся вспа­хать тремя трак­то­ра­ми. При ра­бо­те в оди­ноч­ку пер­вый трак­тор вспа­шет одно поле втрое быст­рее, чем вто­рой, а тре­тье­му на ту же ра­бо­ту по­тре­бу­ет­ся вре­ме­ни на два часа боль­ше, чем пер­во­му. Ра­бо­тая вме­сте, все три трак­то­ра могут вспа­хать одно поле за семь часов две­на­дцать минут. Найти наи­мень­шее время, за ко­то­рое можно вспа­хать оба поля при усло­вии, что все трак­то­ры на­чи­на­ют ра­бо­ту од­но­вре­мен­но, а для пе­ре­ез­да с од­но­го поля дру­гое трак­то­ру тре­бу­ет­ся сорок минут.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет не­чет­ное число ре­ше­ний.

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 19752... каж­дая цифра, на­чи­ная с пятой, равна по­след­ней цифре суммы преды­ду­щих четырёх цифр. Встре­тит­ся ли в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти:

а)  набор цифр 1234; 3269;

б)  вто­рич­но набор 1975;

в)  набор 8197?