В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
а) Прямая MN — средняя линия треугольника 
Пусть отрезок SE пересекает MN в точке K, тогда 
Пусть K' — проекция точки K на плоскость ABC, а O — центр основания (проекция точки S), тогда K' лежит на OE, то есть на медиане CE. Кроме того, точка K' принадлежит сечению α. Заметим, что так как 
то по теореме Фалеса 
При этом, 
как медиана. Таким образом,
б) Так как прямая MN параллельна прямой AB, плоскость α пересекает плоскость ABC по прямой RP, параллельной прямой AB, то есть сечение является трапецией. При этом, так как треугольники AMR и BNP равны, то 
то есть трапеция равнобедренная. По доказанному, 
Пусть γ — угол при основании боковой грани пирамиды. Тогда 
По теореме косинусов,
Следовательно, 
Таким образом, 
Приведём другое решение.
Имеем: 
Пусть 
и 
— проекции M и N на ABC. Далее, SH — высота, 
прямые 
SH и 
параллельны друг другу. Значит, 
перпендикулярна ABC. Прямая 
пересекает прямые AC и BC в точках P и Q соответственно. Плоскость PMNQ — искомое сечение. Пусть CK — медиана треугольника ABC, точка H — точка пересечения медиан треугольника ACB. Следовательно, CH : HK = 2 : 1, — средняя линия треугольника AHB, HT = TK. Значит,
б) Имеем: 
треугольники PCQ и ACB подобны с 
(из пункта а). Следовательно, 
Следовательно, по теореме косинусов:
Следовательно, 
Таким образом,
Ответ: б) 