Ре­ши­те урав­не­ние

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4. Точка N  — се­ре­ди­на СВ, а точка M лежит на ребре AA₁, при­чем AM : MA₁ = 3 : 1. Опре­де­ли­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми MN и BC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AM и CN.

А)  До­ка­жи­те, что углы ACB и MNB равны.

Б)  Вы­чис­ли­те длину сто­ро­ны АС, если из­вест­но, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 25 см, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка BMN равен 15 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BMN равен 3 см.

На­хо­дясь в го­стях у Кро­ли­ка, Вини-Пух за пер­вый час съел 40% всего за­па­са меда Кро­ли­ка, а Пя­та­чок и Кро­лик вме­сте за это же время съели лишь 300 грам­мов меда. За сле­ду­ю­щий час Вини-Пух съел 80% от остав­ше­го­ся меда, а Пя­та­чок и Кро­лик съели 100 грам­мов меда на двоих. В итоге у Кро­ли­ка оста­лось 800 грам­мов меда. Сколь­ко ки­ло­грам­мов меда было у Кро­ли­ка до ви­зи­та Винни-Пуха?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Даны два трех­знач­ных на­ту­раль­ных числа. Из­вест­но, что их про­из­ве­де­ние в N раз (на­ту­раль­ное число N > 1) мень­ше ше­сти­знач­но­го числа, по­лу­ча­ю­ще­го­ся при­пи­сы­ва­ни­ем од­но­го из этих двух чисел вслед за дру­гим.

А)  Может ли N рав­нять­ся 2?

Б)  Может ли N рав­нять­ся 3?

В)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать число N?