Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 527416

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 сечение проходит через вершину A и центры граней A_1B_1C_1D_1 и B_1C_1CB.

а) Найдите, в каком отношении секущая плоскость делит объем куба.

б) Найдите угол между плоскостью грани ABCD и плоскостью сечения.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим центры граней за O_1 и O_2. Тогда O_1O_2 — средняя линия треугольника B_1D_1C, поэтому прямая O_1O_2 параллельна D_1C.

а) Проведем через A прямую, параллельную A_1B (а значит, и D_1C). Обозначим ее пересечение с прямой BB_1 за T. Тогда A_1BTA — параллелограмм, поэтому BT=AA_1. Проведем прямую TO_2 и обозначим ее пересечение с BC и B_1C_1 за S и P соответственно. Проведем теперь прямую PO_1 и обозначим за Q ее пересечение с ребром A_1D_1. Тогда PQAS — требуемое сечение.

Обозначим за M середину ребра BC. Тогда треугольники O_2SM и TSB подобны с коэффициентом O_2M:TB=1:2, поэтому BS= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BC. Точка P симметрична S относительно O_2, поэтому PC_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BC, B_1P= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BC. Аналогично, точка Q симметрична P относительно O_1, поэтому A_1Q= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BC.

Пусть N — середина B_1P, тогда B_1N= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BC. Ясно, что прямая NS параллельна прямой AA_1, поэтому AA_1QSNP — наклонная треугольная призма. Обозначим ребро куба за a. Тогда:

V_AA_1B_1BSPQ=V_AA_1QSNP плюс V_A_1B_1NABS=

=S_AA_1B умножить на d левая круглая скобка AA_1B,SNP правая круглая скобка плюс S_A_1B_1N умножить на d левая круглая скобка A_1B_1N,ABS правая круглая скобка =

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби a умножить на a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби a умножить на a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби a в кубе .

Значит, отношение объемов равно  дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби a в кубе , знаменатель: a в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби a в кубе конец дроби =1:2.

б) Плоскости пересекаются по прямой AS, опустим на нее перпендикуляры из точек Q и R — проекции Q на ABCD. В силу теоремы о трех перпендикулярах они упадут в одну точку H. В треугольнике QRH имеем QR=a и

RH=d левая круглая скобка R,AS правая круглая скобка = дробь: числитель: 2S_ARS, знаменатель: AS конец дроби = дробь: числитель: AR умножить на RS, знаменатель: корень из AR в квадрате плюс RS в квадрате конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби a в квадрате , знаменатель: корень из дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби a в квадрате конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: корень из 10 конец дроби .

Значит,

\angle левая круглая скобка PQAS,ABCD правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка QHR правая круглая скобка = арктангенс дробь: числитель: QR, знаменатель: RH конец дроби = арктангенс корень из 10.

 

Ответ: а) 1:2; б)  арктангенс корень из 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 258.