В кубе 
сечение проходит через вершину A и центры граней 
и 
а) Найдите, в каком отношении секущая плоскость делит объем куба.
б) Найдите угол между плоскостью грани ABCD и плоскостью сечения.
Обозначим центры граней за 
и 
Тогда 
— средняя линия треугольника 
поэтому прямая параллельна 
а) Проведем через A прямую, параллельную 
(а значит, и 
). Обозначим ее пересечение с прямой 
за T. Тогда 
— параллелограмм, поэтому 
Проведем прямую 
и обозначим ее пересечение с BC и 
за S и P соответственно. Проведем теперь прямую 
и обозначим за Q ее пересечение с ребром 
Тогда PQAS — требуемое сечение.
Обозначим за M середину ребра BC. Тогда треугольники 
и TSB подобны с коэффициентом 
поэтому 
Точка P симметрична S относительно 
поэтому 
Аналогично, точка Q симметрична P относительно 
поэтому 
Пусть N — середина 
тогда 
Ясно, что прямая NS параллельна прямой 
поэтому 
— наклонная треугольная призма. Обозначим ребро куба за a. Тогда:
Значит, отношение объемов равно 
б) Плоскости пересекаются по прямой AS, опустим на нее перпендикуляры из точек Q и R — проекции Q на ABCD. В силу теоремы о трех перпендикулярах они упадут в одну точку H. В треугольнике QRH имеем 
и
Значит,
Ответ: а) 
б) 