СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



О ПОЛОМКЕ И ВОССТАНОВЛЕННОЙ КОПИИ РЕШУ ЕГЭ

Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д6 C2 № 532282

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AB = 4, На ребрах AB и B1C1 оснований взяты соответственно точки M и N так, что BM : AB = B1N : B1C1 = 1 : 4. Через середину P бокового ребра BB1 проведено сечение призмы, перпендикулярное прямой MN.

а) В каком отношении плоскость сечения делит ребро АА1?

б) Найдите площадь сечения.

Решение.

а) Пусть M'  — проекция M на A1B1, а N' —проекция N на BC. Очевидно, следовательно, значит, MN'NM — плоскость, содержащая прямую .

Заметим, что MN'NM||AA1C1C. Опустим из точки P перпендикуляр PP1 на MN'NM. Так как P — середина BB1, то P1 — центр прямоугольника MN'NM, то есть середина диагонали MN. Через точку P' в плоскости MN'NM проведем отрезок Q'R' перпендикулярен MN, где PP' перпендикулярен MN'NM, следовательно, PP' перпендикулярен MN, значит, PP' лежит в сечении R'Q' перпендикулярен MN, следовательно, R'Q' лежит в сечении.

Исходя из этого, искомая плоскость — это PR'Q'. Продлим PQ' до AA', до

 

Таким образом, мы построим искомое сечение — треугольник PQR. Найдем, в каком отношении точка Q делит AA1:

Треугольники MP'Q'и MM'N подобны;

откуда Рассмотрим грань AA1B1B.

Пусть треугольники PT'Q' и PTQ подобны

Следовательно,

Таким образом,

 

б) Заметим, что прямая следовательно, содержит высоту треугольника PQR и hP равна высоте треугольника ABC, то есть Заметим, что

Вычислим тогда

 

Ответ: a) 5:1; б)

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 302. (Часть C)