Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 539880

Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания О равен 6, а его высота равна  корень из 33. Точка M — середина образующей SA конуса, а точки N и В лежат на основании конуса, причем MN параллельна образующей конуса SB.

а) Докажите, что ON — биссектриса угла AOB.

б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если AB=4 корень из 3.

Спрятать решение

Решение.

а) Прямая MN параллельна прямой SB. Сторона MN — средняя линия треугольника ASB, AN = NB и точка N принадлежит AB. Тогда в равнобедренном треугольнике OAB сторона ON является медианой. Следовательно, сторона ON — биссектриса угла AOB.

б) Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость основания. Таким образом, MN лежит в плоскости OSA и H — середина AO. В треугольнике OBA находим \ левая квадратная скобка косинус AOB= дробь: числитель: 2 корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 3 конец дроби .\ правая квадратная скобка По теореме косинусов

BH в квадрате = левая круглая скобка 4 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 3 в квадрате минус 2 умножить на 4 корень из 3 умножить на 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 3 конец дроби =48 плюс 9 минус 24=33,

откуда BH= корень из 33.

Пусть  альфа  — угол между стороной BM и плоскостью основания. Тогда

 тангенс альфа = дробь: числитель: MH, знаменатель: BH конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SO , знаменатель: BH конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: корень из 33, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: корень из 33 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,

откуда  альфа = арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: б)  арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 308. (Часть C)