а) Решите уравнение

б) Найдите корни этого уравнения, по абсолютной величине не превышающие

Объем куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка E такая, что и

а) Докажите, что плоскость ABB₁ проходит через точку E.

б) Найдите расстояние от точки D₁ до плоскости EBC, если объем EA₁B₁C₁ в 2 раза меньше объема EBCC₁.

Решите неравенство:

Квадраты ABCD и A₁B₁C₁D₁ (вершины названы по часовой стрелке) совпадают вершинами C и B₁. Точки O и O₁ — центры квадратов.

а) Докажите, что прямая OO₁ пересекает отрезки A₁B и C₁D под одинаковыми углами.

б) Найдите OO₁, если

Наш добрый герой В. взял в банке кредит в размере 20 192 020 рублей по очень знакомой схеме:

— в конце очередного месяца пользования кредитом банк начисляет проценты за пользование заемными средствами по специальной ставке данного варианта 2,96%;

— в этот же день клиент выплачивает часть долга и сумму начисленных процентов;

— после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего месяца.

Но дальше все пошло не по сценарию. Вкладчик решил каждый месяц, начиная с первого, платить банку сверх прочего дополнительную сумму на погашение долга, при этом долг по‐прежнему ежемесячно уменьшался на одну и ту же величину (бóльшую, чем планировалось изначально) до полного погашения. В итоге срок кредита сократился на 52%. На какое наименьшее число процентов могла уменьшиться при этом переплата банку?

Найдите значения параметра a, при которых система

имеет единственное решение.

Саша придумала уравнение n³ + 13n = k³ + 273.

а) Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при k = 21?

б) Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при n ≥ 2020?

в) Найдите все пары (n; k) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению.