а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не не пре­вы­ша­ю­щие

Объем куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ниж­ним ос­но­ва­ни­ем ABCD равен 27. Над плос­ко­стью верх­не­го ос­но­ва­ния от­ме­че­на точка E такая, что и

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость ABB₁ про­хо­дит через точку E.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до плос­ко­сти EBC, если объем EA₁B₁C₁ в 2 раза мень­ше объ­е­ма EBCC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Квад­ра­ты ABCD и A₁B₁C₁D₁ (вер­ши­ны на­зва­ны по ча­со­вой стрел­ке) сов­па­да­ют вер­ши­на­ми C и B₁. Точки O и O₁  — цен­тры квад­ра­тов.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая OO₁ пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки A₁B и C₁D под оди­на­ко­вы­ми уг­ла­ми.

б)  Най­ди­те OO₁, если

Наш доб­рый герой В. взял в банке кре­дит в раз­ме­ре 20 192 020 руб­лей по очень зна­ко­мой схеме:

  — в конце оче­ред­но­го ме­ся­ца поль­зо­ва­ния кре­ди­том банк на­чис­ля­ет про­цен­ты за поль­зо­ва­ние за­ем­ны­ми сред­ства­ми по спе­ци­аль­ной став­ке дан­но­го ва­ри­ан­та 2,96%;

  — в этот же день кли­ент вы­пла­чи­ва­ет часть долга и сумму на­чис­лен­ных про­цен­тов;

  — после вы­пла­ты долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на конец преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Но даль­ше все пошло не по сце­на­рию. Наш герой решил каж­дый месяц, на­чи­ная с пер­во­го, пла­тить банку сверх про­че­го до­пол­ни­тель­ную сумму на по­га­ше­ние долга, при этом долг по‐преж­не­му еже­ме­сяч­но умень­шал­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну (бóльшую, чем пла­ни­ро­ва­лось из­на­чаль­но) до пол­но­го по­га­ше­ния. В итоге срок кре­ди­та со­кра­тил­ся на 52%. На какое наи­мень­шее число про­цен­тов могла умень­шить­ся при этом пе­ре­пла­та банку?

Най­ди­те зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Саша при­ду­ма­ла урав­не­ние n³ + 13n  =  k³ + 273.

а)  Может ли дан­ное урав­не­ние иметь на­ту­раль­ные ре­ше­ния при k  =  21?

б)  Может ли дан­ное урав­не­ние иметь на­ту­раль­ные ре­ше­ния при n ≥ 2020?

в)  Най­ди­те все пары (n; k) на­ту­раль­ных чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих урав­не­нию.