В правильной шестиугольной пирамиде PABCDEF боковое ребро наклонено к основанию под углом 
а) Докажите, что плоскости АРВ и DPE перпендикулярны.
б) Найдите отношение радиуса сферы, касающейся всех граней пирамиды, к радиусу сферы, проходящей через все вершины пирамиды.
а) Пусть M — середина AB, N — середина DE, H — основание высоты пирамиды. Пусть также
тогда 
Поскольку 
треугольник MPN — прямоугольный. Значит, и плоскости содержащих их граней перпендикулярныы,поскольку грани пересекаются по некоторой прямой, проходящей через P и параллельной AB и DE, поэтому MP и NP перпендикулярны прямой пересечения этих плоскостей.
б) Радиус вписанной сферы равен радиусу вписанной окружности PMN, а радиус описанной сферы — радиусу описанной окружности 
Теперь вычислим.
Ответ: 