Дано трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число (число не может на­чи­нать­ся с нуля), не крат­ное 100.

а)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 90?

б)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 88?

в)  Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за про­иг­рыш  — 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды.

а)  Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если m  =  3, d  =  2?

б)  Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d  =  10.

в)  Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если m  =  7d и из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за про­иг­рыш  — 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды.

а)  Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если m  =  2, d  =  2?

б)  Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d  =  10?

в)  Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?

Из­вест­но, что a, b, c, и d  — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

Пусть q  — наи­мень­шее общее крат­ное, а d  — наи­боль­ший общий де­ли­тель на­ту­раль­ных чисел x и y, удо­вле­тво­ря­ю­щих ра­вен­ству 3x = 8y − 29.

а)  Может ли быть рав­ным 170?

б)  Может ли быть рав­ным 2?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние

Из­вест­но, что a, b, c, и d  — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

Из­вест­но, что a, b, c и d  — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число очень счаст­ли­вым, если все цифры в его де­ся­тич­ной за­пи­си раз­лич­ны, а сумма пер­вых двух из этих цифр равна сумме по­след­них двух из них. На­при­мер, очень счаст­ли­вым яв­ля­ет­ся число 3140.

а)  Су­ще­ству­ют ли два­дцать по­сле­до­ва­тель­ных четырёхзнач­ных чисел, среди ко­то­рых есть три очень счаст­ли­вых?

б)  Может ли раз­ность двух очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел рав­нять­ся 2016?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее про­стое число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему очень счаст­ли­во­го четырёхзнач­но­го числа.

На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a > b > c > d.

а)  Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  27.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  19 и a² − b² + с² − d²  =  19?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1000 и a² − b² + с² − d²  =  1000. Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.

На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a > b > c > d.

а)  Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  19.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  23 и a² − b² + с² − d²  =  23?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1200 и a² − b² + с² − d²  =  1200. Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.

Че­ты­ре на­ту­раль­ных числа a, b, c, d та­ко­вы, что

а)  Могут ли все числа быть по­пар­но раз­лич­ны?

б)  Может ли одно из этих чисел рав­нять­ся 9?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные на­бо­ры чисел (без учета их по­ряд­ка в на­бо­ре), среди ко­то­рых ровно два числа равны.

Про три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа из­вест­но, что они яв­ля­ют­ся дли­на­ми сто­рон не­ко­то­ро­го ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Могло ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

б)  Могло ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них, если из­вест­но, что сред­нее по ве­ли­чи­не из этих чисел равно 25?

По кругу в не­ко­то­ром по­ряд­ке по од­но­му разу на­пи­са­ны на­ту­раль­ные числа от 9 до 18. Для каж­дой из де­ся­ти пар со­сед­них чисел нашли их наи­боль­ший общий де­ли­тель.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли равны 1?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли по­пар­но раз­лич­ны?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей могло при этом по­лу­чить­ся?

Коля мно­жил не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число на со­сед­нее на­ту­раль­ное число, и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное m. Вова умно­жил не­ко­то­рое чет­ное на­ту­раль­ное число на со­сед­нее чет­ное на­ту­раль­ное число и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное n.

а)  Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 6?

б)  Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 13?

в)  Какие зна­че­ния может при­ни­мать мо­дуль раз­но­сти чисел m и n?

На окруж­но­сти не­ко­то­рым спо­со­бом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 1 до 21 (каж­дое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары со­сед­них чисел нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го.

а)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 11?

б)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 10?

в)  По­ми­мо по­лу­чен­ных раз­но­стей, для каж­дой пары чисел, сто­я­щих через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?

Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку  — целое число бал­лов от 0 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма  — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оце­нок.

а)  Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния рав­нять­ся

б)  Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния рав­нять­ся

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

На сайте про­во­дит­ся опрос, кого из фут­бо­ли­стов по­се­ти­те­ли сайта счи­та­ют луч­шим по ито­гам се­зо­на. Каж­дый по­се­ти­тель го­ло­су­ет за од­но­го фут­бо­ли­ста. На сайте отоб­ра­жа­ет­ся рей­тинг каж­до­го фут­бо­ли­ста  — доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, в про­цен­тах, округ­лен­ная до це­ло­го числа. На­при­мер, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округ­ля­ют­ся до 9, 11 и 13 со­от­вет­ствен­но.

а)  Всего про­го­ло­со­ва­ло 13 по­се­ти­те­лей сайта. Го­ло­са рас­пре­де­ли­лись так, что рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста стал рав­ным 31. Затем Вася про­го­ло­со­вал за этого фут­бо­ли­ста. Каков те­перь рей­тинг фут­бо­ли­ста с учётом го­ло­са Васи?

б)  Го­ло­са рас­пре­де­ля­ют между двумя фут­бо­ли­ста­ми. Может ли сум­мар­ный рей­тинг быть боль­ше 100?

в)  На сайте отоб­ра­жа­лось, что рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста равен 7. После того как Вася отдал свой голос за этого фут­бо­ли­ста, рей­тинг стал равен 9. При каком наи­боль­шем числе от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов го­ло­сов, вклю­чая Васин голос, такое воз­мож­но?

Длины сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка ― на­ту­раль­ные числа, а его пе­ри­метр равен 4000. Из­вест­но, что длина одной сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равна n% от длины дру­гой сто­ро­ны, где n  ― также на­ту­раль­ное число.

а)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка?

б)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что n < 100.

а)  Чему равно число спо­со­бов за­пи­сать число 1292 в виде где числа   — целые,

б)  Су­ще­ству­ют ли 10 раз­лич­ных чисел N таких, что их можно пред­ста­вить в виде где числа   — целые, ровно 130 спо­со­ба­ми?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет чисел N таких, что их можно пред­ста­вить в виде где числа   — целые, ровно 130 спо­со­ба­ми?

а)  Можно ли число 2014 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

б)  Можно ли число 199 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр.

Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число ин­те­рес­ным, если среди четырёх цифр в его де­ся­тич­ной за­пи­си нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх дру­гих из них. На­при­мер, ин­те­рес­ным яв­ля­ет­ся число 6321.

а)  При­ве­ди­те при­мер двух ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, раз­ность между ко­то­ры­ми равна трём.

б)  Най­дут­ся ли два ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 111?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее про­стое число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему ин­те­рес­но­го четырёхзнач­но­го числа.

Мно­же­ство чисел назовём хо­ро­шим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а)  Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {100; 101; 102; ...; 199} хо­ро­шим?

б)  Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2²⁰⁰} хо­ро­шим?

в)  Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?

Мно­же­ство чисел назовём хо­ро­шим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а)  Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {200; 201; 202; ...; 299} хо­ро­шим?

б)  Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2¹⁰⁰} хо­ро­шим?

в)  Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Верно ли, что для лю­бо­го на­бо­ра по­ло­жи­тель­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 10, а сумма ко­то­рых боль­ше 90, все­гда можно вы­брать не­сколь­ко чисел так, чтобы их сумма была не боль­ше 90, но боль­ше:

а)  80;

б)  82;

в)  81.

Верно ли, что для лю­бо­го на­бо­ра по­ло­жи­тель­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 11, а сумма ко­то­рых боль­ше 110, все­гда можно вы­брать не­сколь­ко чисел так, чтобы их сумма была не боль­ше 110, но боль­ше: 

а)  99;

б)  101;

в)  100.

Воз­рас­та­ю­щие ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, ... и b₁, b₂, ..., b_n, ... со­сто­ят из на­ту­раль­ных чисел.

а)  Су­ще­ству­ют ли такие про­грес­сии, для ко­то­рых и   — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

б)  Су­ще­ству­ют ли такие про­грес­сии, для ко­то­рых и   — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если из­вест­но, что и   — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

Три числа на­зо­вем хо­ро­шей трой­кой, если они могут быть дли­на­ми сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Три числа на­зо­вем от­лич­ной трой­кой, если они могут быть дли­на­ми сто­рон пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Даны 8 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Может ли ока­зать­ся. что среди них не най­дет­ся ни одной хо­ро­шей трой­ки?

б)  Даны 4 раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа. Может ли ока­зать­ся, что среди них можно найти три от­лич­ных трой­ки?

в)  Даны 12 раз­лич­ных чисел (не­обя­за­тель­но на­ту­раль­ных). Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство от­лич­ных троек могло ока­зать­ся среди них?

На доске на­пи­са­ны числа 2 и 3. За один ход из них можно по­лу­чить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (на­при­мер, из чисел 2 и 3 можно по­лу­чить числа 5 и 3 или 5 и 5).

а)  При­ве­ди­те при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти ходов, после ко­то­рых одно из чисел, на­пи­сан­ных на доске, ока­жет­ся чис­лом 19.

б)  Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, на­пи­сан­ных на доске, ока­зать­ся чис­лом 200?

в)  Сде­ла­ли 1007 ходов, при­чем на доске ни­ко­гда не было рав­ных чисел. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го из по­лу­чен­ных чисел?

На доске на­пи­са­ны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход раз­ре­ша­ет­ся сте­реть про­из­воль­ные три числа, сумма ко­то­рых мень­ше 35 и от­лич­на от каж­дой из сумм троек чисел, стёртых на преды­ду­щих ходах.

а)  При­ве­ди­те при­мер по­сле­до­ва­тель­ных 5 ходов.

б)  Можно ли сде­лать 10 ходов?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать?

Рас­смот­рим част­ное трёхзнач­но­го числа, в за­пи­си ко­то­ро­го нет нулей, и про­из­ве­де­ния его цифр.

а)  При­ве­ди­те при­мер числа, для ко­то­ро­го это част­ное равно

б)  Может ли это част­ное рав­нять­ся

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать это част­ное, если оно равно не­со­кра­ти­мой дроби со зна­ме­на­те­лем 27?

Три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа яв­ля­ют­ся дли­на­ми сто­рон не­ко­то­ро­го ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Может ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

б)  Может ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них, если из­вест­но, что сред­нее по ве­ли­чи­не число равно 18?

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го на­ту­раль­но­го числа n, что числа n² и (n + 16)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 200.

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет трёхзнач­ных чисел n с ука­зан­ным в пунк­те а свой­ством?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет двух­знач­ных чисел m, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет ровно 36 трёхзнач­ных чисел n, таких, что n² и (n + m)² дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 200.

а)  При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го в 10 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

б)  Су­ще­ству­ет ли такое четырёхзнач­ное число, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го в 175 раз боль­ше суммы цифр этого числа?

в)  Най­ди­те все четырёхзнач­ные числа, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­рых в 50 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

Шесть раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел та­ко­вы, что ни­ка­кие два из них не имеют об­ще­го де­ли­те­ля, боль­ше­го 1.

а)  Может ли сумма этих чисел быть рав­ной 39?

б)  Может ли сумма этих чисел быть рав­ной 34?

в)  Ка­ко­ва их ми­ни­маль­ная сумма?

Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число очень счаст­ли­вым, если все цифры в его де­ся­тич­ной за­пи­си раз­лич­ны, а сумма пер­вых двух из этих цифр равна сумме по­след­них двух из них. На­при­мер, очень счаст­ли­вым яв­ля­ет­ся число 3140.

а)  Су­ще­ству­ют ли два­дцать по­сле­до­ва­тель­ных четырёхзнач­ных чисел, среди ко­то­рых нет ни од­но­го очень счаст­ли­во­го числа?

б)  Может ли раз­ность двух очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел рав­нять­ся 2016?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее нечётное число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему очень счаст­ли­во­го четырёхзнач­но­го числа.

Мно­же­ство чисел назовём хо­ро­шим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел.

а)  Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {100; 101; 102; ...; 199} хо­ро­шим?

б)  Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2²⁰⁰} хо­ро­шим?

в)  Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?

Дано квад­рат­ное урав­не­ние где a, b и c  — на­ту­раль­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 100. Также из­вест­но, что числа a, b и c по­пар­но от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень –7?

б)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень –53?

в)  Какой наи­мень­ший целый ко­рень может иметь такое урав­не­ние?

Дано квад­рат­ное урав­не­ние где a, b, c  — на­ту­раль­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 200. Также из­вест­но, что числа a, b и c по­пар­но от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень 9?

б)  Может ли такое урав­не­ние иметь ко­рень 135?

в)  Какой наи­боль­ший целый ко­рень может иметь такое урав­не­ние?

Дан вы­пук­лый мно­го­уголь­ник M, ко­то­рый можно раз­ре­зать на 1292 квад­ра­та пло­ща­ди 1.

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го мно­го­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что длина его наи­мень­шей сто­ро­ны боль­ше 15.

б)  Какое наи­боль­шее число сто­рон может иметь мно­го­уголь­ник M?

в)  Какое наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние может иметь пе­ри­метр этого мно­го­уголь­ни­ка?

Дима и Ни­ки­та за­ду­ма­ли по цифре и со­об­щи­ли их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их раз­ность, а затем пе­ре­мно­жи­ла все 4 числа. Мог ли по­лу­чен­ный ре­зуль­тат быть равен:

а)  1989?

б)  2012?

в)  2016?

Если нет  — объ­яс­ни­те по­че­му, если да  — опре­де­ли­те цифры, за­ду­ман­ные Димой и Ни­ки­той.

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, де­ся­тич­ная за­пись каж­до­го из ко­то­рых окан­чи­ва­ет­ся или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма на­пи­сан­ных чисел равна 2454.

а)  Может ли на доске быть по­ров­ну чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 2 и на 6?

б)  Может ли ровно одно число на доске окан­чи­вать­ся на 6?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 6, может быть за­пи­са­но на доске?

С на­ту­раль­ным чис­лом про­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: между каж­ды­ми двумя его со­сед­ни­ми циф­ра­ми за­пи­сы­ва­ют сумму этих цифр (на­при­мер, из числа 1923 по­лу­ча­ет­ся число 110911253).

а)  При­ве­ди­те при­мер числа, из ко­то­ро­го по­лу­ча­ет­ся 2108124117.

б)  Может ли из ка­ко­го-⁠ни­будь числа по­лу­чить­ся число 37494128?

в)  Какое наи­боль­шее число, крат­ное 11, может по­лу­чить­ся из трех­знач­но­го числа?

В каж­дой клет­ке квад­рат­ной таб­ли­цы 6 × 6 стоит на­ту­раль­ное число, мень­шее 7. Вася в каж­дом столб­це на­хо­дит наи­мень­шее число и скла­ды­ва­ет шесть най­ден­ных чисел. Петя в каж­дой стро­ке на­хо­дит наи­мень­шее число и скла­ды­ва­ет шесть най­ден­ных чисел.

а)  Может ли сумма у Пети по­лу­чить­ся в два раза боль­ше, чем сумма у Васи?

б)  Может ли сумма у Пети по­лу­чить­ся в шесть раз боль­ше, чем сумма у Васи?

в)  В какое наи­боль­шее число раз сумма у Пети может быть боль­ше, чем сумма у Васи?

а)  При­ве­ди­те при­мер се­ми­знач­но­го числа из ко­то­ро­го, вычёрки­вая цифры, можно по­лу­чить каж­дое из чисел: 123, 426, 786.

б)  Су­ще­ству­ет ли де­вя­ти­знач­ное число из ко­то­ро­го, вычёрки­вая цифры, можно по­лу­чить каж­дое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, из ко­то­ро­го можно по­лу­чить все числа от 1 до 40 вклю­чи­тель­но, вычёрки­вая из него цифры.

На доске на­пи­са­но n чисел a_i (i  =  1, 2, …, n). Каж­дое из них не мень­ше 50 и не боль­ше 150. Каж­дое из этих чисел умень­ша­ют на r_i%. При этом либо r_i  =  2%, либо число a_i умень­ша­ет­ся на 2, то есть ста­но­вит­ся рав­ным a_i − 2 (какие-⁠то числа умень­ши­лись на число 2, а какие-⁠то  — на 2 про­цен­та).

а)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел r₁, r₂, …, r_n быть рав­ным 5?

б)  Могло ли так по­лу­чить­ся, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел r₁, r₂, …, r_n боль­ше 2, при этом сумма чисел a₁, a₂ … a_n умень­ши­лась более чем на 2n?

в)  Пусть всего чисел 30, а после вы­пол­не­ния опи­сан­ной опе­ра­ции их сумма умень­ши­лась на 40. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел r₁, r₂, …, r_n.

На­зо­вем на­ту­раль­ное число хо­ро­шим, если в нем можно пе­ре­ста­вить цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 11.

а)  Яв­ля­ет­ся ли число 1234 хо­ро­шим?

б)  Яв­ля­ет­ся ли число 12345 хо­ро­шим?

в)  Найти наи­боль­шее хо­ро­шее число, со­сто­я­щее из раз­лич­ных не­чет­ных цифр.

а)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число n, де­ля­ще­е­ся на­це­ло на 12 и при этом име­ю­щее ровно 12 раз­лич­ных на­ту­раль­ных де­ли­те­лей (в число де­ли­те­лей числа n вклю­ча­ет­ся еди­ни­ца и само число n)?

б)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа, де­ля­щи­е­ся на­це­ло на 14 и име­ю­щие ровно 14 раз­лич­ных на­ту­раль­ных де­ли­те­лей.

в)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, де­ля­ще­е­ся на­це­ло на 2014 и име­ю­щее ровно 2014 раз­лич­ных де­ли­те­лей?

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 про­из­воль­но делят на три груп­пы так, чтобы в каж­дой груп­пе было хотя бы одно число. Затем вы­чис­ля­ют зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел в каж­дой из групп (для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу).

а)  Могут ли быть оди­на­ко­вы­ми два из трех зна­че­ний сред­них ариф­ме­ти­че­ских в груп­пах из раз­но­го ко­ли­че­ства чисел?

б)  Могут ли быть оди­на­ко­вы­ми все три зна­че­ния сред­них ариф­ме­ти­че­ских?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние наи­боль­ше­го из по­лу­ча­е­мых трёх сред­них ариф­ме­ти­че­ских.

а)  Су­ще­ству­ют ли дву­знач­ные на­ту­раль­ные числа m и n такие, что

б)  Су­ще­ству­ют ли дву­знач­ные на­ту­раль­ные числа m и n такие, что

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния на­ту­раль­но­го числа n при каж­дом ко­то­рых зна­че­ние вы­ра­же­ния будет наи­мень­шим.

а)  При­ве­ди­те при­мер трех­знач­но­го числа, у ко­то­ро­го ровно 5 на­ту­раль­ных де­ли­те­лей.

б)  Су­ще­ству­ет ли такое трех­знач­ное число, у ко­то­ро­го ровно 15 на­ту­раль­ных де­ли­те­лей?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет таких трех­знач­ных чисел, у ко­то­рых ровно 20 на­ту­раль­ных де­ли­те­лей?

На­зо­вем на­ту­раль­ное число па­лин­дро­мом, если в его де­ся­тич­ной за­пи­си все цифры рас­по­ло­же­ны сим­мет­рич­но (сов­па­да­ют пер­вая и по­след­няя цифра, вто­рая и пред­по­след­няя и т. д.). На­при­мер, числа 121 и 953359 яв­ля­ют­ся па­лин­дро­ма­ми, а числа 10 и 953953 не яв­ля­ют­ся па­лин­дро­ма­ми.

а)  При­ве­ди­те при­мер числа-па­лин­дро­ма, ко­то­рый де­лит­ся на 15.

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет пя­ти­знач­ных чисел-⁠па­лин­дро­мов, де­ля­щих­ся на 15?

в)  Най­ди­те 37-е по по­ряд­ку число-па­лин­дром, ко­то­рое де­лит­ся на 15.

а)  При­ве­ди­те при­мер на­ту­раль­но­го числа, про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей ко­то­ро­го окан­чи­ва­ет­ся на 6 нулей.

б)  Может ли про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей числа, окан­чи­ва­ю­ще­го­ся ровно на три нуля, окан­чи­вать­ся на не­чет­ное число нулей?

в)  Про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей на­ту­раль­но­го числа N окан­чи­ва­ет­ся на 333 нуля. На сколь­ко нулей может окан­чи­вать­ся число N?

а)  При­ве­ди­те при­мер на­ту­раль­но­го числа, у ко­то­ро­го ровно 7 на­ту­раль­ных де­ли­те­лей.

б)  Су­ще­ству­ет ли такое трех­знач­ное число, у ко­то­ро­го ровно 21 на­ту­раль­ный де­ли­тель?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет таких трех­знач­ных чисел, у ко­то­рых ровно 18 на­ту­раль­ных де­ли­те­лей?

а)  При­ве­ди­те при­мер на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое в 15 раз боль­ше суммы своих цифр.

б)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, ко­то­рое в 21 раз боль­ше суммы своих цифр?

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа, ко­то­рые в 15873 раза боль­ше суммы своих цифр.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест писал 51 уча­щий­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 вы­рас­ти в два раза?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 1?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 вырос на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.

а)  Пред­ставь­те число в виде суммы не­сколь­ких дро­бей, все чис­ли­те­ли ко­то­рых  — еди­ни­ца, а зна­ме­на­те­ли  — по­пар­но раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа.

б)  Пред­ставь­те число в виде суммы не­сколь­ких дро­бей, все чис­ли­те­ли ко­то­рых  — еди­ни­ца, а зна­ме­на­те­ли  — по­пар­но раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа.

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные пары на­ту­раль­ных чисел m и n, для ко­то­рых и

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. В пер­вой школе он со­ста­вил 54 балла. После этого один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, при этом сред­ние баллы за тест уве­ли­чи­лись на 12.5% в обеих шко­лах.

a)  Сколь­ко уче­ни­ков, пи­сав­ших тест, могло быть в пер­вой школе?

б)  Какой мак­си­маль­ный балл мог быть у уча­ще­го­ся из пер­вой школы?

в)  Какой ми­ни­маль­ный сред­ний балл мог быть у уча­щих­ся во вто­рой школе?

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест пи­са­ли 9 уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого, один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 умень­шить­ся в 10 раз?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 10%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 7?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 10%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест пи­са­ли 50 уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого, один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 умень­шить­ся в 2 раза?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 2%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 2%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 9?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 2%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 2%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли не мень­ше двух уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл за тест был целым чис­лом, при­чем в школе № 1 сред­ний балл рав­нял­ся 18. Один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах. В ре­зуль­та­те сред­ний балл в школе № 1 вырос на 10%.

а)  Сколь­ко уча­щих­ся могло пи­сать тест в школе № 1 из­на­чаль­но?

б)  В школе № 1 все пи­сав­шие тест на­бра­ли раз­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство бал­лов мог на­брать уча­щий­ся этой школы?

в)  Из­вест­но, что из­на­чаль­но в школе № 2 пи­са­ли тест более 10 уча­щих­ся и после пе­ре­хо­да од­но­го уча­ще­го­ся в эту школу и пе­ре­сче­та бал­лов сред­ний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство уча­щих­ся могло пи­сать тест в школе № 2 из­на­чаль­но?

За про­хож­де­ние каж­до­го уров­ня игры на план­ше­те можно по­лу­чить от одной до трёх звёзд. При этом заряд ак­ку­му­ля­то­ра план­ше­та умень­ша­ет­ся на 3 пунк­та при по­лу­че­нии трёх звёзд, на 6 пунк­тов при по­лу­че­нии двух звёзд и на 9 пунк­тов при по­лу­че­нии одной звез­ды. Витя прошёл не­сколь­ко уров­ней игры под­ряд.

а)  Мог ли заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шить­ся ровно на 32 пунк­та?

б)  Сколь­ко уров­ней игры было прой­де­но, если заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шил­ся на 33 пунк­та и сум­мар­но было по­лу­че­но 17 звёзд?

в)  За прой­ден­ный уро­вень на­чис­ля­ет­ся 9000 очков при по­лу­че­нии трёх звёзд, 5000  — при по­лу­че­нии двух звёзд и 2000  — при по­лу­че­нии одной звез­ды. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков мог по­лу­чить Витя, если заряд ак­ку­му­ля­то­ра умень­шил­ся на 33 пунк­та и сум­мар­но было по­лу­че­но 17 звёзд?

При­ме­ча­ние ре­дак­ции Решу ЕГЭ.

В п. а) счи­тай­те на­чаль­ный заряд до­ста­точ­но боль­шим.

а)  Можно ли вы­черк­нуть не­сколь­ко цифр из числа 123456789 так, чтобы по­лу­чи­лось число, крат­ное 72?

б)  Можно ли вы­черк­нуть не­сколь­ко цифр из числа 846927531 так, чтобы по­лу­чи­лось число, крат­ное 72?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство цифр можно вы­черк­нуть из числа 124875963 так, чтобы по­лу­чи­лось число, крат­ное 72?

На доске на­пи­са­но 10 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­мень­ших из них равно 5, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­боль­ших равно 15.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих чисел рав­нять­ся 3?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел рав­нять­ся 11?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го всех чисел.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли, по край­ней мере, 2 уча­щих­ся, а сум­мар­но тест пи­са­ли 9 уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл за тест был целым чис­лом. После этого один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 умень­шить­ся в 10 раз?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 10%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 7?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 10%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.

Дано трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, не крат­ное 100.

а)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 89?

б)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 86?

в)  Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?

а)  Можно ли в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле дроби вме­сто всех зна­ков * так рас­ста­вить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна

б)  Можно ли в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле дроби вме­сто всех зна­ков * так рас­ста­вить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать вы­ра­же­ние если все­воз­мож­ны­ми спо­со­ба­ми за­ме­нять каж­дый из зна­ков * на + или −?

Все целые числа от 1 до 13 вы­пи­са­ли в ряд так, что каж­дое число, на­чи­ная со вто­ро­го, яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем суммы всех преды­ду­щих чисел.

а)  Может ли на по­след­нем месте сто­ять число 5?

б)  Какие числа могут быть на по­след­нем месте?

в)  Сколь­ко чет­ных чисел может сто­ять на тре­тьем месте?

а)  При­ве­ди­те при­мер 5 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, рас­став­лен­ных по кругу так, что наи­мень­шее общее крат­ное любых двух со­сед­них чисел равно 105.

б)  Можно ли рас­ста­вить по кругу 8 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел так, чтобы наи­мень­шее общее крат­ное двух со­сед­них чисел рав­ня­лось 300, а наи­боль­ший общий де­ли­тель любых трёх под­ряд иду­щих чисел рав­нял­ся 1?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел можно рас­ста­вить по кругу так, чтобы наи­мень­шее общее крат­ное любых двух со­сед­них чисел было равно 60?

Пять раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел та­ко­вы, что ни­ка­кие два не имеют об­ще­го де­ли­те­ля, боль­ше­го 1.

а)  Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?

б)  Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех пяти чисел?

Квад­рат­ное урав­не­ние имеет два раз­лич­ных на­ту­раль­ных корня.

а)  Пусть Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния p.

б)  Пусть Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния q.

в)  Пусть Най­ди­те все воз­мож­ные корни ис­ход­но­го урав­не­ния.

Пер­вый набор чисел со­сто­ит из чисел Вто­рой набор со­сто­ит из чисел Числа раз­би­ты на пары. В каж­дой паре на пер­вом месте  — число из пер­во­го на­бо­ра, а на вто­ром  — число из вто­ро­го. В каж­дой паре два числа умно­жи­ли друг на друга и по­лу­чен­ные про­из­ве­де­ния сло­жи­ли.

а)  Может ли по­лу­чен­ная сумма де­лить­ся на 9?

б)  Может ли по­лу­чен­ная сумма быть боль­ше 1 000 000?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние по­лу­чен­ной суммы.

Будем на­зы­вать дробь «про­стой», если её чис­ли­тель равен 1, а зна­ме­на­тель  — на­ту­раль­ное число.

а)  За­пи­ши­те число 1 в виде суммы трёх раз­лич­ных про­стых дро­бей.

б)  Можно ли за­пи­сать число 1 в виде суммы двух раз­лич­ных про­стых дро­бей?

в)  Какие дей­стви­тель­ные числа, мень­шие 1, можно за­пи­сать в виде суммы не­ко­то­ро­го числа раз­лич­ных про­стых дро­бей?

На доске на­пи­са­ны все пя­ти­знач­ные числа, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­рых по од­но­му разу встре­ча­ют­ся цифры 3, 4, 5, 6 и 7 (34567, 34576 и т. д.).

а)  Есть ли среди них число, ко­то­рое де­лит­ся на 55?

б)  Есть ли среди них число, ко­то­рое де­лит­ся на 505?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее из этих чисел, де­ля­ще­е­ся на 11.

Из­вест­но, что a, b, c, d, e и f  — это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 9, рас­став­лен­ные без по­вто­ре­ний в не­ко­то­ром, воз­мож­но ином, по­ряд­ке.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма

На доске было на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Эти числа раз­би­ли на три груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых ока­за­лось хотя бы одно число. К каж­до­му числу из пер­вой груп­пы при­пи­са­ли спра­ва цифру 6, к каж­до­му числу из вто­рой груп­пы при­пи­са­ли спра­ва цифру 9, а числа тре­тьей груп­пы оста­ви­ли без из­ме­не­ний.

а)  Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 9 раз?

б)  Могла ли сумма всех этих чисел уве­ли­чить­ся в 19 раз?

в)  В какое наи­боль­шее число раз могла уве­ли­чить­ся сумма всех этих чисел?

Де­сять маль­чи­ков и семь де­во­чек пошли в лес за гри­ба­ми. Из­вест­но, что любые две де­воч­ки на­бра­ли боль­ше гри­бов, чем любые три маль­чи­ка, но любые пять маль­чи­ков на­бра­ли боль­ше гри­бов, чем любые три де­воч­ки.

а)  Может ли так слу­чить­ся, что какая-⁠то де­воч­ка на­бра­ла мень­ше гри­бов, чем какой-⁠ни­будь маль­чик?

б)  Может ли так слу­чить­ся, что ко­ли­че­ство най­ден­ных гри­бов у всех детей будет раз­лич­ным?

в)  Най­ди­те ми­ни­маль­ное воз­мож­ное ко­ли­че­ство гри­бов, со­бран­ное всеми детьми сум­мар­но.

В на­бо­ре 70 гирек мас­сой 1, 2, ..., 70 грам­мов. Их раз­ло­жи­ли на две кучки так, что в каж­дой кучке есть хотя бы одна гирь­ка. Потом из вто­рой кучки пе­ре­ло­жи­ли одну гирь­ку в первую кучку. В ре­зуль­та­те сред­няя масса гирек в пер­вой кучке уве­ли­чи­лась ровно на один грамм.

а)  Могла ли пер­вая кучка (до пе­ре­кла­ды­ва­ния) со­сто­ять из гирек с ве­са­ми 11 г, 15 г, 19 г?

б)  Мог ли сред­ний вес гирек в пер­вой кучке до пе­ре­кла­ды­ва­ния рав­нять­ся 9,5 грам­ма?

в)  Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство гирек могло быть пер­во­на­чаль­но в пер­вой кучке?

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых де­лит­ся на 3 и окан­чи­ва­ет­ся на 6.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 198?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 270?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на доске, если их сумма равна 1518?

а)  Су­ще­ству­ют ли на­ту­раль­ные числа m и n, такие, что дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на равен 17?

б)  Су­ще­ству­ют ли на­ту­раль­ные числа m и n, такие, что дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трех­чле­на равен 54?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние при­ни­ма­ет дис­кри­ми­нант D квад­рат­но­го трех­чле­на если из­вест­но, что числа m, n и D  — на­ту­раль­ные?

На­зо­вем на­ту­раль­ное число «за­ме­ча­тель­ным», если оно самое ма­лень­кое среди на­ту­раль­ных чисел с такой же, как у него, сум­мой цифр.

а)  Чему равна сумма цифр две ты­ся­чи пят­на­дца­то­го за­ме­ча­тель­но­го числа?

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет двух­знач­ных за­ме­ча­тель­ных чисел?

в)  Какой по­ряд­ко­вый номер за­ме­ча­тель­но­го числа 5999?

г)  Чему равна сумма всех че­ты­рех­знач­ных за­ме­ча­тель­ных чисел?

По­сле­до­ва­тель­ность a₁, a₂, a₃, ... со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, при­чем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех на­ту­раль­ных n.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

в)  При каком наи­боль­шем на­ту­раль­ном n может вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

Про число А из­вест­но, что оно не яв­ля­ет­ся 2020‐й сте­пе­нью на­ту­раль­но­го числа и имеет ровно 2020 раз­лич­ных де­ли­те­лей, вклю­чая его са­мо­го и еди­ни­цу.

а)  Может ли А быть кубом це­ло­го числа?

б)  Может ли А быть чет­вер­той сте­пе­нью це­ло­го числа?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние А.

На доске за­пи­са­ны числа 1, 2, 3, …, 27. За один ход раз­ре­ша­ет­ся сте­реть про­из­воль­ные три числа, сумма ко­то­рых мень­ше 31 и от­лич­на от каж­дой из сумм троек чисел, стер­тых на преды­ду­щих ходах.

а)  Можно ли сде­лать 4 хода?

б)  Можно ли сде­лать 9 ходов?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать?

На ас­фаль­те мелом на­пи­са­ли в ряд 333 цифры 3 и рас­ста­ви­ли между не­ко­то­ры­ми из них знаки «плюс» и «минус».

А)  Может ли зна­че­ние по­лу­чен­но­го чис­ло­во­го вы­ра­же­ния рав­нять­ся 333?

Б)  У зна­че­ния по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния сло­жи­ли все цифры, затем с по­лу­чен­ным зна­че­ни­ем сде­ла­ли то же самое, и так 3 раза. Могло ли в итоге по­лу­чить­ся число 33?

В)  Най­ди­те все числа, ко­то­рые могли по­лу­чить­ся после 33‐х пе­ре­хо­дов, опи­сан­ных в пунк­те б).

В каж­дой из де­вя­ти ячеек стро­ки слева на­пра­во в не­ко­то­ром (воз­мож­но, ином) по­ряд­ке рас­став­ле­ны по од­но­му 9 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что среди любых четырёх под­ряд (иду­щих слева на­пра­во) из этих чисел есть ровно одно, де­ля­ще­е­ся на 3, и ровно одно, де­ля­ще­е­ся на 4?

б)  Могло ли ока­зать­ся так, что среди любых четырёх под­ряд (иду­щих слева на­пра­во) из этих чисел есть ровно одно, де­ля­ще­е­ся на 3, а среди любых двух под­ряд (иду­щих слева на­пра­во) из этих чисел есть ровно одно про­стое число?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать про­из­ве­де­ние суммы всех чисел, сто­я­щих на нечётных ме­стах, и суммы всех чисел, сто­я­щих на чётных ме­стах этой стро­ки?

Вася за­пи­сал на листе бу­ма­ги не­ко­то­рую по­сле­до­ва­тель­ность из n чисел (n > 3), а затем про­дол­жил её, по­вто­рив все числа ещё раз в том же по­ряд­ке. Затем Вася пред­ло­жил Маше сыг­рать в игру по сле­ду­ю­щим пра­ви­лам. За один ход Маша может спро­сить у Васи сумму любых трёх под­ряд иду­щих чисел. Маша вы­иг­ры­ва­ет, если через не­сколь­ко ходов узна­ет все числа.

а)  Может ли Маша га­ран­ти­ро­ван­но вы­иг­рать, если n  =  5?

б)  Может ли Маша га­ран­ти­ро­ван­но вы­иг­рать, если n  =  9?

в)  За какое наи­мень­шее число ходов Маша может га­ран­ти­ро­ван­но вы­иг­рать, если n  =  22?

а)  При­ве­ди­те при­мер де­ся­ти таких раз­лич­ных дву­знач­ных чисел, среди ко­то­рых ровно 5 де­лят­ся на 2, ровно 5 де­лят­ся на 3, ровно 5 де­лят­ся на 5 и ровно 3 де­лят­ся на 6.

б)  Су­ще­ству­ют ли такие де­сять раз­лич­ных дву­знач­ных чисел, среди ко­то­рых ровно 7 де­лят­ся на 3, ровно 7 де­лят­ся на 5, ровно 7 де­лят­ся на 7?

в)  Про де­сять раз­лич­ных дву­знач­ных чисел из­вест­но, что наи­боль­ший общий де­ли­тель любых двух из них равен 1, 2, 3, 5 или 7. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство из этих де­ся­ти чисел может де­лить­ся на 7?

Дана бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, в ко­то­рой k‐⁠й член за­да­ет­ся фор­му­лой a_k  =  2k − 1, где k ∈ N, k ≥ 1. Далее рас­смат­ри­ва­ют­ся суммы не­сколь­ких (не менее двух) сла­га­е­мых из не­ко­то­ро­го на­бо­ра иду­щих под­ряд чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти. Может ли такая сумма быть рав­ной:

а)  2021?

б)  289?

в)  квад­ра­ту на­ту­раль­но­го числа?

г)  кубу на­ту­раль­но­го числа?

а)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что числа n² и (n + 17)² имеют оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 69?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что числа n² и (n + 17)² имеют оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 68?

в)  Пусть k(m)  — ко­ли­че­ство трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел n, таких, что числа n² и (n + m)² имеют оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 68, при­чем m  — дву­знач­ное на­ту­раль­ное число. Опре­де­ли­те наи­мень­шее зна­че­ние k, от­лич­ное от нуля.

Из­вест­но, что квад­рат­ное урав­не­ние вида x² + mx + k  =  0 имеет два раз­лич­ных на­ту­раль­ных корня.

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния k при m  =  −6.

б)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния m при

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния кор­ней урав­не­ния, если k² − m²  =  2236.

Пусть обо­зна­ча­ет дву­знач­ное число, рав­ное где a и b  — цифры,

а)  Су­ще­ству­ют ли такие по­пар­но раз­лич­ные не­ну­ле­вые цифры a, b, c и d, что

б)  Су­ще­ству­ют ли такие по­пар­но раз­лич­ные не­ну­ле­вые цифры a, b, c и d, что если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать вы­ра­же­ние если среди цифр a, b, c и d есть цифры 5 и 6?

В на­ту­раль­ном числе каж­дая цифра, кроме пер­вой и по­след­ней, мень­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них с ней цифр.

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го четырёхзнач­но­го числа.

б)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го ше­сти­знач­но­го числа.

в)  Най­ди­те наи­боль­шее такое число.

Маша за­ду­ма­ла 6 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел и про­де­лы­ва­ет с ними такую опе­ра­цию: сна­ча­ла на­хо­дит сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­вых двух чисел, затем  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та и тре­тье­го числа, после  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та и чет­вер­то­го числа, затем  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­лу­чен­но­го числа и пя­то­го числа, и на­ко­нец  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та и ше­сто­го числа. По­лу­чен­ный ре­зуль­тат она обо­зна­ча­ет через М. Далее Маша на­хо­дит число А  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское ис­ход­ных чисел.

а)  Воз­мож­но ли, что А  =  М?

б)  Воз­мож­но ли, что М  =  6А?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние n, для ко­то­ро­го воз­мож­но, что М  =  nА.

а)  Может ли де­ся­тич­ная за­пись про­из­ве­де­ния трёх по­сле­до­ва­тель­ных трёхзнач­ных чисел окан­чи­вать­ся на 250?

б)  Может ли де­ся­тич­ная за­пись про­из­ве­де­ния трёх по­сле­до­ва­тель­ных трёхзнач­ных чисел окан­чи­вать­ся на 8750?

в)  Най­ди­те все такие на­ту­раль­ные числа n, что каж­дое из чисел n, n + 1 и n + 2 трёхзнач­ное, а де­ся­тич­ная за­пись их про­из­ве­де­ния n(n + 1)(n + 2) окан­чи­ва­ет­ся на 4000.

Име­ют­ся зе­ле­ные и жел­тые кар­точ­ки, всего их 80 штук. На каж­дой кар­точ­ке на­пи­са­но на­ту­раль­ное число, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 31. Все числа на жел­тых кар­точ­ках раз­ные. При этом любое число на жел­той кар­точ­ке боль­ше лю­бо­го числа на зелёной кар­точ­ке. Числа на жел­тых кар­точ­ках уве­ли­чи­ли в 3 раза, после этого сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел стало равно 88.

а)  Может ли быть ровно 50 жел­тых кар­то­чек?

б)  Может ли быть ровно 15 зе­ле­ных кар­то­чек?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство жел­тых кар­то­чек может быть?

По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на ре­кур­рент­ным спо­со­бом: a₁  =  1, a₂  =  2, Най­ди­те:

а)  сумму пяти пер­вых чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти;

б)  

в)  про­из­ве­де­ние два­дца­ти пер­вых чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа n (n ≥ 1) обо­зна­чим через O(n) ко­ли­че­ство нечётных цифр в де­ся­тич­ной за­пи­си этого числа. На­при­мер, O(123)  =  2, а O(2048)  =  0.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что O(4 · n)  =  O(n) + 2?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что O(5ⁿ + 2^n + 1 − 2) > n?

в)  Для ка­ко­го наи­мень­ше­го на­ту­раль­но­го числа n вы­пол­не­но ра­вен­ство O(11 · n)  =  O(n) + 2?

Даны 15 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, за­пи­сан­ных в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

а)  Могут ли эти числа об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, если сумма пер­во­го, тре­тье­го и седь­мо­го из них равна 125, а сумма всех чисел равна 885?

б)  Могут ли эти числа об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, если сумма пер­во­го, тре­тье­го и седь­мо­го из них равна 90, а сумма всех чисел равна 810?

в)  Могут ли пер­вые во­семь из этих чисел об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с целым зна­ме­на­те­лем, если сумма этих вось­ми чисел равна 103 · 994?

Сима за­пи­са­ла не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, все цифры ко­то­рых четны, после чего нашла сумму этих чисел и обо­зна­чи­ла ее через S.

а)  Может ли сумма цифр числа S быть не­чет­ным чис­лом?

б)  Может ли про­из­ве­де­ние цифр числа S быть не­чет­ным чис­лом?

в)  Пусть де­ся­тич­ная за­пись числа S со­сто­ит из 366 цифр. Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может при­ни­мать про­из­ве­де­ние цифр числа S?

Для каж­до­го на­ту­раль­но­го числа n обо­зна­чим через n! про­из­ве­де­ние пер­вых n на­ту­раль­ных чисел (1!  =  1).

а)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что де­ся­тич­ная за­пись числа n! окан­чи­ва­ет­ся ровно 9 ну­ля­ми?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что де­ся­тич­ная за­пись числа n! окан­чи­ва­ет­ся ровно 23 ну­ля­ми?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет на­ту­раль­ных чисел n, мень­ших 100, для каж­до­го из ко­то­рых де­ся­тич­ная за­пись числа n! · (100 − n)! окан­чи­ва­ет­ся ровно 23 ну­ля­ми?

Для на­бо­ра 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел вы­пол­не­но, что сумма любых трёх чисел из этого на­бо­ра мень­ше суммы любых четырёх чисел из этого на­бо­ра.

а)  Может ли одним из этих чисел быть число 999?

б)  Может ли одним из этих чисел быть число 66?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чисел этого на­бо­ра?

Сто­ро­на квад­ра­та на 2 см длин­нее ши­ри­ны пря­мо­уголь­ни­ка, пло­ща­ди этих фигур равны, а все длины сто­рон  — целые числа.

а)  Может ли ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка быть рав­ной 6?

б)  Может ли длина пря­мо­уголь­ни­ка быть рав­ной 9?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты таких пар пря­мо­уголь­ни­ков и квад­ра­тов. В от­ве­те ука­жи­те длины их сто­рон.

На­пом­ним, что про­из­ве­де­ние на­ту­раль­ных чисел обо­зна­ча­ет­ся n! (на­при­мер, ). Опре­де­ли­те наи­боль­шее воз­мож­ное n в сле­ду­ю­щих слу­ча­ях:

а)   не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом.

б)  (n + 2)! − 42(n!) < 0.

в)  (n!)² − 12n! не де­лит­ся на 13.

Даны три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа такие, что вто­рое число равно сумме цифр пер­во­го, а тре­тье  — сумме цифр вто­ро­го.

а)  Может ли сумма трех чисел быть рав­ной 420?

б)  Может ли сумма трех чисел быть рав­ной 419?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет троек чисел, таких что: пер­вое число  — трех­знач­ное, а по­след­нее равно 5?

Дано трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, не крат­ное 100.

а)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 55?

б)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 87?

в)  Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр, если пер­вая цифра дан­но­го числа равна 7?

Дано трёхзнач­ное число А, сумма цифр ко­то­ро­го равна S.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство A · S  =  28 000?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство A · S  =  2971?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее про­из­ве­де­ние A · S < 5997.

Дано трёхзнач­ное число А, сумма цифр ко­то­ро­го равна S.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство A · S  =  1105?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство A · S  =  1106?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать вы­ра­же­ние A · S, если оно боль­ше 1503?

Дано трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, не крат­ное 100.

а)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 11?

б)  Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 5?

в)  Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр, если пер­вая цифра дан­но­го числа равна 7?

а)  Можно ли пред­ста­вить число в виде суммы двух дро­бей, чис­ли­те­ли ко­то­рых  — еди­ни­цы, а зна­ме­на­те­ли  — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

б)  Тот же во­прос для числа

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сла­га­е­мых ука­зан­но­го вида (дро­бей с чис­ли­те­ля­ми 1 и зна­ме­на­те­ля­ми  — по­пар­но раз­лич­ны­ми на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми) по­тре­бу­ет­ся, чтобы пред­ста­вить число

На­ту­раль­ные числа от 1 до n в по­ряд­ке воз­рас­та­ния за­пи­са­ны в строч­ку. Под ними за­пи­са­ны те же числа в дру­гом по­ряд­ке. Можно ли до­бить­ся того, что сумма каж­до­го числа и за­пи­сан­но­го под ним была бы точ­ным квад­ра­том:

а)  при n  =  7;

б)  при n  =  12;

в)  при n  =  2015?

Вова за­ду­мал на­ту­раль­ное число а и по­счи­тал сумму его цифр, эту сумму он обо­зна­чил b. Затем он по­счи­тал сумму цифр числа b и обо­зна­чил ее через с. Ока­за­лось, что среди чисел a, b и с нет оди­на­ко­вых.

а)  Может ли a + b + c  =  3000?

б)  Может ли a + b + c  =  2000?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет че­ты­рех­знач­ных чисел а, для ко­то­рых c  =  4?

а)  Можно ли в вы­ра­же­нии вме­сто всех зна­ков * рас­ста­вить знаки + и − так, чтобы в ре­зуль­та­те по­лу­чил­ся нуль?

б)  Можно ли в вы­ра­же­нии вме­сто всех зна­ков * рас­ста­вить знаки + и − так, чтобы в ре­зуль­та­те по­лу­чил­ся нуль?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных чисел можно вы­брать из на­бо­ра и рас­ста­вить знаки + и − так, чтобы их сумма стала равна нулю?

Пусть обо­зна­ча­ет трех­знач­ное число, рав­ное 100a + 10b + c, где a, b и c  — де­ся­тич­ные цифры, a ≠ 0.

а)  Су­ще­ству­ют ли такие по­пар­но раз­лич­ные не­ну­ле­вые де­ся­тич­ные цифры a, b и c, что

б)  Су­ще­ству­ют ли такие по­пар­но раз­лич­ные не­ну­ле­вые де­ся­тич­ные цифры a, b и c, что

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если среди по­пар­но раз­лич­ных не­ну­ле­вых де­ся­тич­ных цифр a, b и c есть цифра 6?

Сим­во­лом [a] обо­зна­ча­ет­ся целая часть числа a, то есть наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее a. На­при­мер, и

а)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что

б)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа n, для ко­то­рых

Бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел {a_n} за­да­на сле­ду­ю­щим со­от­но­ше­ни­ем: a₁  =  1,

а)  Де­лит­ся ли число a₂₀₂₂ на 33?

б)  Может ли член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти a_n при n > 1 быть точ­ным квад­ра­том?

в)  Какие остат­ки при де­ле­нии на 7 могут иметь члены этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

Вве­дем на мно­же­стве на­ту­раль­ных чисел новую опе­ра­цию ква­зи­у­мно­же­ния сле­ду­ю­щим об­ра­зом: Ре­зуль­тат опе­ра­ции будем на­зы­вать ква­зи­про­из­ве­де­ни­ем чисел m и n.

а)  Число n > 1 будем на­зы­вать ква­зи­про­стым, если его нель­зя пред­ста­вить в виде ква­зи­про­из­ве­де­ния двух мень­ших чисел. Най­ди­те все про­стые числа, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ква­зи­про­сты­ми.

б)  Число n будем на­зы­вать ква­зи­чет­ным, если су­ще­ству­ет такое число m, что Будут ли ква­зи­чет­ны­ми чис­ла­ми сумма и про­из­ве­де­ние двух ква­зи­чет­ных чисел? А трех или че­ты­рех?

в)  Тре­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся ква­зи­пря­мо­уголь­ным, если он удо­вле­тво­ря­ет тео­ре­ме Ква­зи­пи­фа­го­ра: сумма ква­зи­квад­ра­тов двух сто­рон равна ква­зи­квад­ра­ту тре­тьей сто­ро­ны. Най­ди­те длины сто­рон рав­но­бед­рен­но­го ква­зи­пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка наи­мень­ше­го пе­ри­мет­ра.

На­ту­раль­ное число будем на­зы­вать сим­мет­рич­ным, если оно сов­па­да­ет с чис­лом, за­пи­сан­ным теми же циф­ра­ми в об­рат­ном по­ряд­ке.

а)  Будет ли сим­мет­рич­ное число с чет­ным ко­ли­че­ством цифр де­лить­ся на 11?

б)  К трех­знач­но­му числу при­пи­шем спра­ва это же число. Будет ли по­лу­чен­ное ше­сти­знач­ное число точ­ным квад­ра­том?

в)  Какие ше­сти­знач­ные сим­мет­рич­ные числа де­лят­ся на 77? Сколь­ко всего таких чисел?

Настя за­ду­ма­ла трех­знач­ное на­ту­раль­ное число n. В ре­зуль­та­те де­ле­ния этого числа на сумму его цифр по­лу­ча­ет­ся на­ту­раль­ное число m.

а)  Может ли m  =  11?

б)  Какое наи­мень­шее число n могла за­ду­мать Настя, если из­вест­но, что сред­няя цифра этого числа равна 9, а пер­вая цифра  — чет­ная и боль­ше 2?

в)  Чему равно наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние m, если по­след­няя цифра числа n равна 4?

Каж­дую цифру a на­ту­раль­но­го числа n за­ме­ним по­след­ней циф­рой числа a³. По­лу­чен­ное в ре­зуль­та­те такой за­ме­ны число будем обо­зна­чать n* и на­зы­вать вза­им­ным с чис­лом n. Число, сов­па­да­ю­щее со своим вза­им­ным, будем на­зы­вать осо­бен­ным.

а)  Могут ли два раз­ных на­ту­раль­ных числа иметь оди­на­ко­вые вза­им­ные числа?

б)  Для каких на­ту­раль­ных чисел n будет осо­бен­ным число Сколь­ко всего су­ще­ству­ет трех­знач­ных осо­бен­ных чисел?

в)  Ре­ши­те урав­не­ние

Име­ет­ся урав­не­ние числа a, b и c  — целые,

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния b, если из­вест­но, что a  =  10, c  =  30, а урав­не­ние имеет два раз­лич­ных целых корня?

б)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния кор­ней, если b  =  c и урав­не­ние имеет либо два раз­лич­ных целых корня, либо один целый ко­рень крат­но­сти 2.

в)  Из­вест­но, что и урав­не­ние имеет корни, при­чем все корни яв­ля­ют­ся це­лы­ми чис­ла­ми. Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния кор­ней.

Из трех раз­ных цифр a, b, c, от­лич­ных от 0, все­воз­мож­ны­ми пе­ре­ста­нов­ка­ми со­став­ле­ны 6 трех­знач­ных чисел. Пусть их наи­боль­ший общий де­ли­тель равен d.

а)  Может ли быть d  =  6?

б)  Может ли быть d  =  7?

в)  Какое мак­си­маль­ное зна­че­ние может иметь d? Най­ди­те зна­че­ния a, b, c, при ко­то­рых d до­сти­га­ет мак­си­маль­но­го зна­че­ния.

Бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел за­да­на сле­ду­ю­щим со­от­но­ше­ни­ем: Где r_n  — по­след­няя цифра числа 4ⁿ, для всех

а)  Най­ди­те фор­му­лу для члена a_n этой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

б)  При каких зна­че­ни­ях n член по­сле­до­ва­тель­но­сти a_n яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том?

в)  При каких зна­че­ни­ях n член по­сле­до­ва­тель­но­сти a_n яв­ля­ет­ся сте­пе­нью числа 2?

Мно­же­ство про­стых де­ли­те­лей числа n будем на­зы­вать ДНК этого числа. Числа m и n, име­ю­щие оди­на­ко­вые ДНК, будем на­зы­вать род­ствен­ны­ми. На­при­мер, числа 12 и 18 род­ствен­ные, т. к. их ДНК={2,3}.

Число m на­зы­ва­ет­ся сим­мет­рич­ным с чис­лом n, если оно за­пи­са­но теми же циф­ра­ми, но в об­рат­ном по­ряд­ке. При этом если по­след­ни­ми циф­ра­ми числа n были нули, то в на­ча­ле числа m они от­бра­сы­ва­ют­ся.

а)  Пусть число n де­лит­ся на 10. Может ли оно быть род­ствен­ным со своим сим­мет­рич­ным чис­лом?

б)   Сумма пер­вой и по­след­ней цифр на­ту­раль­но­го числа равна 13. Может ли оно быть род­ствен­ным со своим сим­мет­рич­ным чис­лом?

в)  Най­ди­те ми­ни­маль­ное и мак­си­маль­ное со­став­ное трёхзнач­ное число, у ко­то­ро­го нет трёхзнач­ных род­ствен­ных чисел.

Каж­дое из четырёх под­ряд иду­щих на­ту­раль­ных чисел раз­де­ли­ли на их пер­вые цифры и ре­зуль­та­ты сло­жи­ли в сумму S.

а)  Может ли быть ?

б)  Может ли быть ?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее целое S, если все че­ты­ре числа лежат в от­рез­ке от 400 до 999 вклю­чи­тель­но.

Даны че­ты­ре по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных числа. Каж­дое из чисел по­де­ли­ли на одну из его цифр, не рав­ную нулю, а затем че­ты­ре по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та сло­жи­ли.

а)  Может ли по­лу­чен­ная сумма рав­нять­ся 386?

б)  Может ли по­лу­чен­ная сумма рав­нять­ся 9,125?

в)  Какое наи­боль­шее целое зна­че­ние может при­ни­мать по­лу­чен­ная сумма, если из­вест­но, что каж­дое из ис­ход­ных чисел не мень­ше 200 и не боль­ше 699?

Каж­дое из че­ты­рех по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, по­след­няя цифра ко­то­рых не равна нулю, раз­де­ли­ли на его по­след­нюю цифру. По­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты сло­жи­ли и на­зва­ли S. Тогда:

а) может ли

б) может ли

в) если числа были трех­знач­ные, то какое наи­боль­шее целое зна­че­ние S могло по­лу­чить­ся?

Со­ста­вим две по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел {a_n} и {b_n}:

a₁  =  1, (n > 1), где p  — наи­мень­ший про­стой де­ли­тель числа n;

b₁  =  1, b_n (n > 1)  — ко­ли­че­ство таких чисел m, для ко­то­рых a_m  =  n. Оно по­ка­зы­ва­ет, сколь­ко раз число n встре­ча­ет­ся в по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}.

а)  Най­ди­те b₁₈₇.

б)   Для каких чисел n > 1 и m > 1 вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство b_n  =  b_m?

в)  Чему равно b_m, если ?

Юра за­пи­сы­ва­ет на доске n-⁠знач­ное на­ту­раль­ное число, не ис­поль­зуя цифру 0. Затем он за­пи­сы­ва­ет рядом ещё одно число, по­лу­чен­ное из ис­ход­но­го пе­ре­ме­ще­ни­ем пер­вой цифры на по­след­нее место. (На­при­мер, если n  =  3 и ис­ход­ное число равно 123, то вто­рое число равно 231.) После этого Юра на­хо­дит сумму этих двух чисел.

а)  Может ли сумма чисел на доске рав­нять­ся 2728, если n  =  4?

б)  Может ли сумма чисел на доске рав­нять­ся 83 347, если n  =  5?

в)  При n  =  6 ока­за­лось, что сумма чисел де­лит­ся на 99. Сколь­ко на­ту­раль­ных чисел от 925 111 до 925 999, ко­то­рые Юра мог ис­поль­зо­вать в ка­че­стве ис­ход­но­го числа?

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 264. Затем в каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 17 за­ме­ни­ли на число 71).

а)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 4 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 3 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.

На­ту­раль­ные числа m и n будем на­зы­вать дру­же­ствен­ны­ми, если Со­ста­вим сле­ду­ю­щую по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел :   — ко­ли­че­ство чисел, дру­же­ствен­ных с n и не пре­вос­хо­дя­щих n.

а)  Чему равно ?

б)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа n, для ко­то­рых

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа n, для ко­то­рых, для ко­то­рых дру­же­ствен­ны­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся все де­ли­те­ли d > 1 и толь­ко они.

Дано на­ту­раль­ное трех­знач­ное число n, в за­пи­си ко­то­ро­го нет нулей. Для этого числа со­ста­вим дробь f(n), в чис­ли­те­ле ко­то­рой само число n, а в зна­ме­на­те­ле  — про­из­ве­де­ние всех цифр числа n.

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го числа n, для ко­то­ро­го

б)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что ?

в)  Какое на­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь f(n), если она равна не­со­кра­ти­мой дроби со зна­ме­на­те­лем 24?

Для каж­до­го на­ту­раль­но­го числа n обо­зна­чим через a_n мак­си­маль­ный де­ли­тель числа n, яв­ля­ю­щий­ся квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа, и

а)  Может ли у числа b_n быть 18 де­ли­те­лей?

б)  Для сколь­ких на­ту­раль­ных чисел n вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство ?

в)  По­след­няя цифра числа n равна 9. Чему равна сумма по­след­них цифр чисел a_n и b_n?

Для дей­стви­тель­но­го числа x обо­зна­чим через [x] наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее x. На­при­мер, так как

а)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что ?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что ?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­ту­раль­ных n, для ко­то­рых ?

Возь­мем три любые (не обя­за­тель­но раз­лич­ные) цифры a, b, c, от­лич­ные от 0, и все­воз­мож­ны­ми пе­ре­ста­нов­ка­ми со­ста­вим шесть трех­знач­ных чисел Сумму этих чисел обо­зна­чим

а)  Может ли рав­нять­ся 1754 при каких‐либо зна­че­ни­ях a, b, c?

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных зна­че­ний ?

в)  Сколь­ко трех­знач­ных чисел сов­па­да­ют со сред­ним ариф­ме­ти­че­ским чисел ?

Для каж­до­го на­ту­раль­но­го числа вве­дем (на­при­мер, ).

а)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное n, если не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом.

б)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное n, если

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное n, если не де­лит­ся на 13.

В де­ся­тич­ной за­пи­си числа a > 1 толь­ко че­ре­ду­ю­щи­е­ся еди­ни­цы и нули: a  =  1010...

а)  Может ли это число быть квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

б)  Какие числа та­ко­го вида будут про­сты­ми?

в)  Сколь­ко еди­ниц в за­пи­си этого числа, если оно де­лит­ся на 13?

По кругу рас­став­ле­но N раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 425. Сумма любых четырёх иду­щих под­ряд чисел де­лит­ся на 4, а сумма любых трёх иду­щих под­ряд чисел нечётна.

а)  Может ли N быть рав­ным 280?

б)  Может ли N быть рав­ным 149?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние N.

С трёхзнач­ным чис­лом про­из­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: вы­чи­та­ют из него сумму его цифр, а затем по­лу­чив­шу­ю­ся раз­ность делят на 3.

а)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 300?

б)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 151?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных чисел может по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции из чисел от 100 до 600 вклю­чи­тель­но?

Из­вест­но, что a, b, c и d  — раз­лич­ные дву­знач­ные на­ту­раль­ные числа.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если a > 3b и c > 2d?

А)  В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии пер­вый член и раз­ность про­грес­сии d  =  9. Какие члены про­грес­сии имеют чет­ное ко­ли­че­ство де­ли­те­лей?

Б)  В по­сле­до­ва­тель­но­сти со­сто­я­щей из целых чисел, из­вест­ны пер­вые два члена: а сле­ду­ю­щие члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­хо­дят­ся по фор­му­ле для всех Какой самый боль­шой про­стой де­ли­тель имеет число

В)  Может ли на­ту­раль­ное число иметь 100 де­ли­те­лей, если сумма его де­ли­те­лей яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом?

Це­ло­чис­лен­ным тре­уголь­ни­ком на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник, длины сто­рон ко­то­ро­го равны целым чис­лам.

а)  Най­ди­те все це­ло­чис­лен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, длины сто­рон ко­то­рых об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию;

б)  Су­ще­ству­ют ли це­ло­чис­лен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки в ко­то­рых вы­со­та, бис­сек­три­са и ме­ди­а­на, про­ве­ден­ные из вер­ши­ны пря­мо­го угла, об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

в)  Най­ди­те все це­ло­чис­лен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, у ко­то­рых пло­щадь чис­лен­но равна пе­ри­мет­ру.

В на­ту­раль­ном числе n между всеми па­ра­ми со­сед­них цифр вста­ви­ли одну и ту же цифру c. По­лу­чи­лось число m, ко­то­рое де­лит­ся на n. Их част­ное равно k.

а)  Может ли быть k  =  10?

б)  Может ли быть k  =  2?

в)  Чему может быть равно наи­мень­шее зна­че­ние числа k?

Трех­знач­ное число, мень­шее 910, по­де­ли­ли на сумму его цифр и по­лу­чи­ли на­ту­раль­ное число n.

а)  Может ли n рав­нять­ся 68?

б)  Может ли n рав­нять­ся 86?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать n, если все цифры не­ну­ле­вые?

На мно­же­стве на­ту­раль­ных чисел вве­дем новую опе­ра­цию «ква­зи­у­мно­же­ния» (*): ква­зи­про­из­ве­де­ни­ем чисел m и n будем на­зы­вать где

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Сколь­ко ре­ше­ний может иметь урав­не­ние где p  — про­стое число?

в)  По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел {a_n} на­зо­вем ква­зи­гео­мет­ри­че­ской про­грес­си­ей со зна­ме­на­те­лем q, если для всех Сколь­ко эле­мен­тов в самой длин­ной воз­рас­та­ю­щей ква­зи­гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии?

В за­пи­си на­ту­раль­но­го числа n сде­ла­ем за­ме­ну цифр. Если цифра то за­ме­ня­ем её на цифру (10 – a), а если a  =  0, то её не ме­ня­ем. Обо­зна­чим по­лу­чен­ное число через n*.

а)  Может ли быть n  =  10n*?

б)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать от­но­ше­ние

в)  Если n де­лит­ся на то чему может быть равно от­но­ше­ние

На доске в одну стро­ку слева на­пра­во на­пи­са­ны n на­ту­раль­ных чисел, причём каж­дое сле­ду­ю­щее из них яв­ля­ет­ся квад­ра­том преды­ду­ще­го.

а)  Могли ли при n  =  3 на доске быть на­пи­са­ны ровно 11 цифр (на­при­мер, если на доске на­пи­са­ны числа 5, 25 и 625, то на­пи­са­ны ровно 6 цифр)?

б)  Могли ли при n  =  3 на доске быть на­пи­са­ны ровно 12 цифр?

в)  Какое самое ма­лень­кое число может быть на­пи­са­но на доске при n  =  4, если на доске на­пи­са­но ровно 22 цифры?

Ма­ри­на со­став­ля­ет из n чет­ве­рок числа и на­хо­дит все­воз­мож­ные их суммы. На­при­мер, если n  =  4, то воз­мож­ных сумм было бы 5:

а)  Может ли одна из сумм S рав­нять­ся 460, если n  =  25?

б)  Может ли одна из сумм S рав­нять­ся 800, если n  =  25?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных зна­че­ний n, для ко­то­рых одна из сумм равна 800?

Рас­смат­ри­ва­ют­ся це­ло­чис­лен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, то есть такие пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, длины всех сто­рон ко­то­рых вы­ра­же­ны це­лы­ми чис­ла­ми.

а)  В тре­уголь­ни­ке длина одной из сто­рон равна 12. Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния длин дру­гих сто­рон этого тре­уголь­ни­ка.

б)  Длина h вы­со­ты, опу­щен­ной на ги­по­те­ну­зу, также вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние h.

в)  В тре­уголь­ни­ке где c  — длина ги­по­те­ну­зы, b  — длина од­но­го из ка­те­тов. По­след­няя цифра де­ся­тич­ной за­пи­си пе­ри­мет­ра этого тре­уголь­ни­ка равна 6. Чему равны по­след­ние цифры де­ся­тич­ной за­пи­си длин сто­рон этого тре­уголь­ни­ка?

Обо­зна­чим через a_n про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей на­ту­раль­но­го числа n.

а)  Может ли быть a_n  =  1000?

б)  Чему равно n, если a_n  =  21 952?

в)  При каких зна­че­ни­ях n вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство a_n  =  n²?

У Ани есть 800 руб. Ей нужно ку­пить кон­вер­ты (боль­шие и ма­лень­кие). Боль­шой кон­верт стоит 32 руб., а ма­лень­кий  — 25 руб. При этом число ма­лень­ких кон­вер­тов не долж­но от­ли­чать­ся от числа боль­ших кон­вер­тов боль­ше чем на пять.

а)  Может ли Аня ку­пить 24 кон­вер­та?

б)  Может ли Аня ку­пить 29 кон­вер­тов?

в)  Какое на­боль­шее число кон­вер­тов может ку­пить Аня?

Обо­зна­чим через a_n ко­ли­че­ство n-знач­ных чисел (n > 1), в за­пи­си ко­то­рых есть хотя бы одна цифра 0.

а)  Какой циф­рой окан­чи­ва­ет­ся число a_n?

б)  При каких зна­че­ни­ях n число a_n за­кан­чи­ва­ет­ся двумя де­вят­ка­ми?

в)  Может ли сумма де­ли­те­лей числа a_n при де­ле­нии на 13 иметь в остат­ке 7?

Дано на­ту­раль­ное число. На каж­дом ходе из него либо вы­чи­та­ют утро­ен­ную сумму цифр, либо при­бав­ля­ют утро­ен­ную сумму цифр, так, что по­лу­чен­ное число оста­ет­ся на­ту­раль­ным.

а)  Могло ли из числа 65 по­лу­чить­ся число 41?

б)  Могло ли из числа 65 по­лу­чить­ся число 43?

в)  Какое наи­мень­шее дву­знач­ное число можно по­лу­чить из 65?

На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию

а)  Най­ди­те a, b, c и d, если а

б)  Может ли быть и

в)  Пусть и Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.

Для на­ту­раль­но­го числа n обо­зна­чим через t(n) ко­ли­че­ство его на­ту­раль­ных де­ли­те­лей и через s(n) сумму его на­ту­раль­ных де­ли­те­лей.

а)  Для каких чисел n сумма будет не­чет­ной?

б)  По­след­няя цифра числа t(n) равна 3. Может ли по­след­ней циф­рой числа s(n) быть 2?

в)  1) Все­гда ли будет про­стым число s(n), если число t(n) яв­ля­ет­ся про­стым?

      2) Все­гда ли будет про­стым число t(n), если число s(n) яв­ля­ет­ся про­стым?

Рас­смат­ри­ва­ют­ся пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, в ко­то­рых длины всех сто­рон яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми.

а)  Длина одной из сто­рон равна 17. Най­ди­те длины всех сто­рон.

б)  Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка в 24 раза боль­ше длины одной из сто­рон. Най­ди­те длины сто­рон тре­уголь­ни­ка, если одна из них яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом.

в)  Вы­со­та, опу­щен­ная на ги­по­те­ну­зу, равна 120. Най­ди­те длины сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­ро­го нет нулей, раз­де­ли­ли на про­из­ве­де­ние его цифр.

а)  Может ли по­лу­чив­ше­е­ся част­ное быть рав­ным 5?

6)  Может ли по­лу­чив­ше­е­ся част­ное быть рав­ным 1?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать это част­ное?

С на­ту­раль­ным чис­лом про­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: между каж­ды­ми двумя его со­сед­ни­ми циф­ра­ми за­пи­сы­ва­ют мо­дуль раз­но­сти этих цифр (на­при­мер, из числа 2673 по­лу­ча­ет­ся число 2 461 743).

а)  Может ли из ка­ко­го-ни­будь числа по­лу­чить­ся число 1 234 774 321?

б)  Может ли из трех­знач­но­го числа по­лу­чить­ся число, де­ля­ще­е­ся на 11?

в)  Сколь­ко всего су­ще­ству­ет трех­знач­ных чисел, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­рых от­сут­ству­ют нули, а число де­сят­ков не менее числа сотен и еди­ниц, таких, что после вы­пол­не­ния ука­зан­ной выше опе­ра­ции по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 11?

Даны числа A и B. Из них можно сде­лать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, толь­ко если сле­ду­ю­щая пара этих чисел будет на­ту­раль­ной. Из­вест­но, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов со­здать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколь­ко ходов можно сде­лать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать, чтобы оба числа не пре­вы­ша­ли 50?

Дана пра­виль­ная не­со­кра­ти­мая дробь За один ход можно уве­ли­чить чис­ли­тель на зна­ме­на­тель, а зна­ме­на­тель на два чис­ли­те­ля, т. е. по­лу­чить не­со­кра­ти­мую дробь

а)  Можно ли из дроби по­лу­чить дробь

б)  Можно ли из не­ко­то­рой дроби по­лу­чить дробь за 2 хода.

в)  Дробь боль­ше Най­ди­те ми­ни­маль­ную дробь ко­то­рую нель­зя по­лу­чить из дру­гой пра­виль­ной не­со­кра­ща­е­мой дроби за 2 хода.

В игре число a  =  4 и число b  =  5, за ход можно сде­лать или (новые числа а и b все­гда по­ло­жи­тель­ные).

а)  Можно ли по­лу­чить число 200 за 100 ходов?

б)  Сколь­ко нужно сде­лать ходов, чтобы по­лу­чить сумму рав­ную 300.

в)  Сколь­ко нужно сде­лать ходов, чтобы по­лу­чить мак­си­маль­ную сумму, при этом ни одно число не пре­вы­ша­ет 200.

Для чисел A и B, со­сто­я­щих из оди­на­ко­во­го ко­ли­че­ства цифр, вы­чис­ли­ли S  — сумму про­из­ве­де­ний со­от­вет­ству­ю­щих цифр. На­при­мер. для числа A  =  123 и B  =  579 по­лу­ча­ет­ся сумма

a)  Су­ще­ству­ют ли трёхзнач­ные числа А и В, для ко­то­рых ?

б)  Су­ще­ству­ют ли пя­ти­знач­ные числа А и В. для ко­то­рых S  =  400?

В)  Верно ли, что любое на­ту­раль­ное число от 1 до 260 яв­ля­ет­ся сум­мой для не­ко­то­рых четырёхзнач­ных чисел A и В?

Из пары на­ту­раль­ных чисел (a; b), где за один ход по­лу­ча­ют пару (a + b; a – b).

а)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов по­лу­чить из пары (50; 9) пару, боль­шее число в ко­то­рой равно 200?

б)  Можно ли за не­сколь­ко таких ходов по­лу­чить из пары (50; 9) пару (408; 370)?

в)  Какое наи­мень­шее a может быть в паре (a; b), из ко­то­рой за не­сколь­ко ходов можно по­лу­чить пару (408; 370).

Квад­рат­ное урав­не­ние с на­ту­раль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми p и q имеет два на­ту­раль­ных корня.

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния p, если q  =  5.

б)  Могут ли од­но­вре­мен­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ства p  <  10 и q  >  30?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние p при q  >  30.