ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Тип 14 № 526830

i

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M  — середина BC.

а)  Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.

б)  Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB  =  6, BC  =  8 и AS  =   $5 корень из 2 .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 526809

i

Решите неравенство $4 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка синус в кубе x правая круглая скобка плюс 8 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка синус x правая круглая скобка больше или равно 1.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526890

i

На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM  =  BN  =   $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KN.$ Точка P  — середина отрезка KN.

а)  Докажите, что четырехугольник BCPM  — равнобедренная трапеция.

б)  Найдите площадь треугольника ABC, если $BM=1$ и $\angle BCM=15 градусов.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 16 № 526891

i

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-⁠го и 2-⁠го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-⁠го и 4-⁠го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 8 млн рублей.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 526892

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка ay минус ax плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус x плюс 3a правая круглая скобка =0, |xy|=a конец системы .$

имеет ровно шесть решений.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 526893

i

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а)  Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n  =  14?

б)  Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n  =  19?

в)  Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n  =  24?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 14 № 526895

i

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M  — середина BC.

а)  Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.

б)  Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB  =  4, BC  =  6 и AS  =   $4 корень из 2 .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 526896

i

Решите неравенство $20 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка меньше или равно 1.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 526897

i

На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM  =  BN  =   $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KN.$ Точка P  — середина отрезка KN.

а)  Докажите, что четырехугольник BCPM  — равнобедренная трапеция.

б)  Найдите площадь треугольника ABC, если $BM=2$ и $\angle BCM=30 градусов.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 16 № 526898

i

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 25% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 9 млн рублей.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 526900

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка ay минус ax плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус x плюс 3a правая круглая скобка =0, |xy|=a конец системы .$

имеет ровно восемь решений.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 526901

i

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а)  Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рублей и ручки за 31 рублей, если n  =  16?

б)  Могли ли все её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n  =  26?

в)  Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 96 рублей и n  =  19?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 526902

i

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 27 конец дроби правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x конец дроби плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка в квадрате x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x в кубе конец дроби .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 526903

i

Решите неравенство $дробь: числитель: 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x в кубе конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 526904

i

Первый набор чисел состоит из чисел $2, 4, 8, ..., 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$ Второй набор состоит из чисел $3, 9, 27, ..., 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$ Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте  — число из первого набора, а на втором  — число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили.

а)  Может ли полученная сумма делиться на 9?

б)  Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000?

в)  Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 526905

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка y плюс 2=0,xy минус 1=x минус y конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 526906

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений a левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка минус ax плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка y плюс 1=0,xy минус 1=y минус x конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 526907

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в степени 4 плюс y в квадрате =a в квадрате , x в квадрате плюс y=|a плюс 1| конец системы .$

имеет ровно четыре решения.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 526908

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в степени 4 плюс y в квадрате =a в квадрате минус 1, x в квадрате минус y=|a минус 1| конец системы .$

имеет ровно четыре решения.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 526909

i

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 5 минус 7x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 9x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 5 минус 7x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка$

имеет ровно один корень.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 526910

i

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 2 минус 5x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 36x в квадрате минус a в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 минус 5x конец аргумента умножить на \ln левая круглая скобка 6x плюс a правая круглая скобка$

имеет ровно один корень.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 526911

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате плюс 20x плюс y в квадрате минус 20y плюс 75=|x в квадрате плюс y в квадрате минус 25|,x минус y=a конец системы .$

имеет более одного решения.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 526917

i

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате минус 20x плюс y в квадрате плюс 20y плюс 75=|x в квадрате плюс y в квадрате минус 25|,x минус y=a конец системы .$

имеет более одного решения.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019.