Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 132. Точка G  — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABGD.

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Вы­со­та ци­лин­дра равна ра­ди­у­су ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли 7 уче­ных из Сер­бии, 3 из Рос­сии и 2 из Дании. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что де­ся­тым ока­жет­ся до­клад учёного из Рос­сии.

За круг­лый стол на 11 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 9 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что де­воч­ки ока­жут­ся на со­сед­них ме­стах.

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик диф­фе­рен­ци­ру­е­мой функ­ции и от­ме­че­ны во­семь точек на оси абс­цисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) по­ло­жи­тель­на?

При сбли­же­нии ис­точ­ни­ка и приёмника зву­ко­вых сиг­на­лов дви­жу­щих­ся в не­ко­то­рой среде по пря­мой нав­стре­чу друг другу ча­сто­та зву­ко­во­го сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мо­го приeмни­ком, не сов­па­да­ет с ча­сто­той ис­ход­но­го сиг­на­ла и опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем: (Гц), где c  — ско­рость рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде (в м/с), а и   — ско­ро­сти приeмника и ис­точ­ни­ка от­но­си­тель­но среды со­от­вет­ствен­но. При какой мак­си­маль­ной ско­ро­сти c (в м/с) рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде ча­сто­та сиг­на­ла в приeмнике f будет не менее 180 Гц?

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 19-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 17-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки B.

Ука­жи­те наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке [3; 21].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб ABCD со сто­ро­ной 10. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и SB.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  в июле 2030 года долг дол­жен со­став­лять 800 тыс. руб.;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

Най­ди­те на­чаль­ную сумму кре­ди­та, если сумма вы­плат по кре­ди­ту равна 2090 тысяч руб­лей.

Даны числа A и B. Из них можно сде­лать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, толь­ко если сле­ду­ю­щая пара этих чисел будет на­ту­раль­ной. Из­вест­но, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов со­здать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколь­ко ходов можно сде­лать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать, чтобы оба числа не пре­вы­ша­ли 50?