Артём гу­ля­ет по парку. Он вы­хо­дит из точки S и, дойдя до оче­ред­ной раз­вил­ки, с рав­ны­ми шан­са­ми вы­би­ра­ет сле­ду­ю­щую до­рож­ку, но не воз­вра­ща­ет­ся об­рат­но. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что таким об­ра­зом он вый­дет к пруду или фон­та­ну.

Артём гу­ля­ет по парку. Он вы­хо­дит из точки S и, дойдя до оче­ред­ной раз­вил­ки, с рав­ны­ми шан­са­ми вы­би­ра­ет сле­ду­ю­щую до­рож­ку, но не воз­вра­ща­ет­ся об­рат­но. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что таким об­ра­зом он вый­дет к дет­ской пло­щад­ке.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [−2,5; −1,5].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [−0,5; 0,5].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно На реб­рах AB и SB от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но, при­чем AM  =  4, SK : KB  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CKM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BCKM.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 8, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  2, SK  =  1. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC и со­дер­жит точки M и K.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α со­дер­жит точку C.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α.

Точки A, B и C лежат на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, причём A и C диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ны. Точка M  — се­ре­ди­на BC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая SM об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ABC такой же угол, как и пря­мая AB с плос­ко­стью SBC.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SA и плос­ко­стью SBC, если AB  =  4, BC  =  6 и

Точки A, B и C лежат на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, причём A и C диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ны. Точка M  — се­ре­ди­на BC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая SM об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ABC такой же угол, как и пря­мая AB с плос­ко­стью SBC.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SA и плос­ко­стью SBC, если AB  =  6, BC  =  8 и

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 12, а вы­со­та равна 5.

а)  По­строй­те се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну ко­ну­са и вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные об­ра­зу­ю­щие.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от плос­ко­сти се­че­ния до цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са.

В пра­виль­ной вось­ми­уголь­ной приз­ме ABCDEFGHA₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁H₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна а бо­ко­вое ребро AA₁ равно 6. Ha pe6pe CC₁ от­ме­че­на точка M так, что Плос­кость па­рал­лель­на пря­мой H₁E₁ и про­хо­дит через точки M и A.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью α   — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка F₁, а ос­но­ва­ни­ем  — се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью α.

При каком зна­че­нии па­ра­мет­ра a си­сте­ма

имеет наи­боль­шее ко­ли­че­ство ре­ше­ний? Най­ди­те эти ре­ше­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В четырёхуголь­ни­ке ABCD про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны не па­рал­лель­ны. Диа­го­на­ли четырёхуголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O под пря­мым углом и об­ра­зу­ют че­ты­ре по­доб­ных тре­уголь­ни­ка, у каж­до­го из ко­то­рых одна из вер­шин  — точка O.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти, если AC  =  10, BD  =  26.

В четырёхуголь­ни­ке ABCD про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны не па­рал­лель­ны. Диа­го­на­ли четырёхуголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O под пря­мым углом и об­ра­зу­ют че­ты­ре по­доб­ных тре­уголь­ни­ка, у каж­до­го из ко­то­рых одна из вер­шин  — точка O.

а)  До­ка­жи­те, что в четырёхуголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти, если AC  =  12, BD  =  13.

На сто­ро­нах AC, AB и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C вне тре­уголь­ни­ка ABC по­стро­е­ны рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKC, ALB и BMC с пря­мы­ми уг­ла­ми K, L и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что LC  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка KLM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM, если LC  =  4.

На сто­ро­нах AC, AB и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C вне тре­уголь­ни­ка ABC по­стро­е­ны рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKC, ALB и BMC с пря­мы­ми уг­ла­ми K, L и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что LC  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка KLM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM, если LC  =  6.

На сто­ро­нах AC, AB и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C во внеш­нюю сто­ро­ну по­стро­е­ны рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKC и ALB и BMC с пря­мы­ми уг­ла­ми K, L и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что LC  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка KLM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM, если LC  =  10.

От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны M и N ос­но­ва­ний со­от­вет­ствен­но BC и AD тра­пе­ции ABCD, раз­би­ва­ет её на две тра­пе­ции, в каж­дую из ко­то­рых можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная.

б)  Из­вест­но, что ра­ди­ус этих окруж­но­стей равен 4, а мень­шее ос­но­ва­ние BC ис­ход­ной тра­пе­ции равно 14. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB, ос­но­ва­ния AN тра­пе­ции ABMN и впи­сан­ной в неё окруж­но­сти.

Алек­сей пла­ни­ру­ет 15 де­каб­ря взять в банке кре­дит на 2 года в раз­ме­ре 1 806 000 руб­лей. Со­труд­ник банка пред­ло­жил Алек­сею два раз­лич­ных ва­ри­ан­та по­га­ше­ния кре­ди­та, опи­са­ние ко­то­рых при­ве­де­но в таб­ли­це.

На сколь­ко руб­лей мень­ше ока­жет­ся общая сумма вы­плат банку по более вы­год­но­му для Алек­сея ва­ри­ан­ту по­га­ше­ния кре­ди­та?

Вик­тор пла­ни­ру­ет 15 де­каб­ря взять в банке кре­дит на 2 года в раз­ме­ре 1 962 000 руб­лей. Со­труд­ник банка пред­ло­жил Вик­то­ру два раз­лич­ных ва­ри­ан­та по­га­ше­ния кре­ди­та, опи­са­ние ко­то­рых при­ве­де­но в таб­ли­це.

На сколь­ко руб­лей мень­ше ока­жет­ся общая сумма вы­плат банку по более вы­год­но­му для Вик­то­ра ва­ри­ан­ту по­га­ше­ния кре­ди­та?

Цена цен­ной бу­ма­ги на конец года вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле S  =  1,1S₀ + 2000, где S₀  — цена цен­ной бу­ма­ги на на­ча­ло года в руб­лях. Мак­сим может при­об­ре­сти цен­ную бу­ма­гу, а может по­ло­жить день­ги на бан­ков­ский счёт, на ко­то­ром сумма уве­ли­чи­ва­ет­ся за год на 12%. В на­ча­ле лю­бо­го года Мак­сим может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить все вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт, а также снять день­ги с бан­ков­ско­го счёта и ку­пить цен­ную бу­ма­гу. В на­ча­ле 2021 года у Мак­си­ма было 80 тысяч руб­лей, ко­то­рые он может по­ло­жит на бан­ков­ский счёт или может при­об­ре­сти на них цен­ную бу­ма­гу. Какая наи­боль­шая сумма может быть у Мак­си­ма через че­ты­ре года? Ответ дайте в руб­лях.

Бри­га­ду из 30 ра­бо­чих нужно рас­пре­де­лить по двум объ­ек­там. Если на пер­вом объ­ек­те ра­бо­та­ет p че­ло­век, то каж­дый из них по­лу­ча­ет в сутки 200p  руб­лей. Если на вто­ром объ­ек­те ра­бо­та­ет p че­ло­век, то каж­дый из них по­лу­ча­ет в сутки (50p + 300) руб. Как нужно рас­пре­де­лить ра­бо­чих по объ­ек­там, чтобы их сум­мар­ная су­точ­ная зар­пла­та ока­за­лась наи­мень­шей? Сколь­ко руб­лей в этом слу­чае придётся за­пла­тить за сутки всем ра­бо­чим?

Най­ди­те зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых среди кор­ней урав­не­ния будет ровно три по­ло­жи­тель­ных.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых среди кор­ней урав­не­ния будет ровно два по­ло­жи­тель­ных.

Най­ди­те, при каких не­от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях a функ­ция на от­рез­ке [−1; 1] имеет ровно одну точку ми­ни­му­ма.

Най­ди­те, при каких не­по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях a функ­ция на от­рез­ке [−2; 2] имеет две точки мак­си­му­ма.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­ром си­сте­ма урав­не­ний

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых любое зна­че­ние из про­ме­жут­ка [−1,5; −0,5] яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых линии и огра­ни­чи­ва­ют мно­го­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го не более 0,5.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых линии и огра­ни­чи­ва­ют мно­го­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го не менее

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­ром си­сте­ма урав­не­ний

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние на ин­тер­ва­ле

Петя участ­во­вал в вик­то­ри­не по ис­то­рии. За каж­дый пра­виль­ный ответ участ­ни­ку на­чис­ля­ет­ся 8 бал­лов, за каж­дый не­вер­ный  — спи­сы­ва­ют­ся 8 бал­лов, за от­сут­ствие от­ве­та спи­сы­ва­ет­ся 3 балла. По ре­зуль­та­там вик­то­ри­ны Петя на­брал 35 бал­лов.

а)  На сколь­ко во­про­сов Петя не дал от­ве­та, если в вик­то­ри­не было 30 во­про­сов?

б)  На сколь­ко во­про­сов Петя не дал от­ве­та, если в вик­то­ри­не было 35 во­про­сов?

в)  На сколь­ко во­про­сов Петя от­ве­тил пра­виль­но, если в вик­то­ри­не было 33 во­про­са?

Оля участ­во­ва­ла в вик­то­ри­не по ис­то­рии. За каж­дый пра­виль­ный ответ участ­ни­ку на­чис­ля­ет­ся 8 бал­лов, за каж­дый не­вер­ный  — спи­сы­ва­ют­ся 8 бал­лов, за от­сут­ствие от­ве­та спи­сы­ва­ет­ся 3 балла. По ре­зуль­та­там вик­то­ри­ны Оля на­бра­ла 35 бал­лов.

а)  На сколь­ко во­про­сов Оля от­ве­ти­ла пра­виль­но, если в вик­то­ри­не было 24 во­про­са?

б)  На сколь­ко во­про­сов Оля не дала от­ве­та, если в вик­то­ри­не было 25 во­про­сов?

в)  На сколь­ко во­про­сов Оля от­ве­ти­ла не­вер­но, если в вик­то­ри­не было 37 во­про­сов?

Алек­сандр хочет ку­пить пакет акций быст­ро­рас­ту­щей ком­па­нии. В на­ча­ле года у Алек­сандра не было денег на по­куп­ку акций, а пакет стоил 100 000 руб­лей. В се­ре­ди­не каж­до­го ме­ся­ца Алек­сандр от­кла­ды­ва­ет на по­куп­ку па­ке­та акций одну и ту же сумму, а в конце ме­ся­ца пакет до­ро­жа­ет, но не более чем на 30%. Какую наи­мень­шую сумму нужно от­кла­ды­вать Алек­сан­дру каж­дый месяц, чтобы через не­ко­то­рое время ку­пить же­ла­е­мый пакет акций?

У Миши в ко­пил­ке есть двух­рублёвые, пя­ти­рублёвые и де­ся­ти­рублёвые мо­не­ты. Если взять 10 монет, то среди них обя­за­тель­но най­дет­ся хотя бы одна двух­рублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обя­за­тель­но найдётся хотя бы одна пя­ти­рублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обя­за­тель­но най­дет­ся хотя бы одна де­ся­ти­рублёвая.

а)  Может ли у Миши быть 30 монет?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство монет может быть у Миши?

в)  Какая наи­боль­шая сумма руб­лей может быть у Миши?

У Коли в ко­пил­ке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые мо­не­ты. Если взять 20 монет, то среди них обя­за­тель­но най­дет­ся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 25 монет, то среди них обя­за­тель­но найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 30 монет, то среди них обя­за­тель­но най­дет­ся хотя бы одна 10-рублёвая.

а)  Может ли у Коли быть 50 монет?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство монет может быть у Коли?

в)  Какая наи­боль­шая сумма руб­лей может быть у Коли?

Для на­бо­ра 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел вы­пол­не­но, что сумма любых трёх чисел из этого на­бо­ра мень­ше суммы любых четырёх чисел из этого на­бо­ра.

а)  Может ли одним из этих чисел быть число 999?

б)  Может ли одним из этих чисел быть число 66?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чисел этого на­бо­ра?

Для на­бо­ра 40 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел вы­пол­не­но, что сумма любых двух чисел из этого на­бо­ра мень­ше суммы любых четырёх чисел из этого на­бо­ра.

а)  Может ли одним из этих чисел быть число 777?

б)  Может ли одним из этих чисел быть число 33?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чисел этого на­бо­ра?

Для каж­до­го на­ту­раль­но­го числа n обо­зна­чим через n! про­из­ве­де­ние пер­вых n на­ту­раль­ных чисел (1!  =  1).

а)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что де­ся­тич­ная за­пись числа n! окан­чи­ва­ет­ся ровно 9 ну­ля­ми?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что де­ся­тич­ная за­пись числа n! окан­чи­ва­ет­ся ровно 23 ну­ля­ми?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет на­ту­раль­ных чисел n, мень­ших 100, для каж­до­го из ко­то­рых де­ся­тич­ная за­пись числа n! · (100 − n)! окан­чи­ва­ет­ся ровно 23 ну­ля­ми?

Для каж­до­го на­ту­раль­но­го числа n обо­зна­чим через n! про­из­ве­де­ние пер­вых n на­ту­раль­ных чисел (1!  =  1).

а)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что де­ся­тич­ная за­пись числа n! окан­чи­ва­ет­ся ровно 10 ну­ля­ми?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что де­ся­тич­ная за­пись числа n! окан­чи­ва­ет­ся ровно 17 ну­ля­ми?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет на­ту­раль­ных чисел n, мень­ших 75, для каж­до­го из ко­то­рых де­ся­тич­ная за­пись числа n! · (75 − n)! окан­чи­ва­ет­ся ровно 17 ну­ля­ми?

Груп­пу детей можно пе­ре­вез­ти ав­то­бу­са­ми мо­де­ли А или ав­то­бу­са­ми мо­де­ли Б. Из­вест­но, что в ав­то­бу­се мо­де­ли А ко­ли­че­ство мест боль­ше 30, но мень­ше 40, а в ав­то­бу­сах мо­де­ли Б  — боль­ше 40, но мень­ше 50. Если всех детей рас­са­дить в ав­то­бу­сы мо­де­ли А, то все места будут за­ня­ты. Если всех детей рас­са­дить в ав­то­бу­сы мо­де­ли Б, то все места так же будут за­ня­ты, но по­тре­бу­ет­ся на один ав­то­бус мень­ше.

а)  Может ли по­тре­бо­вать­ся 5 ав­то­бу­сов мо­де­ли А?

б)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство детей в груп­пе, если из­вест­но, что их боль­ше 150.

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство детей в груп­пе.

Груп­пу детей можно пе­ре­вез­ти ав­то­бу­са­ми мо­де­ли А или ав­то­бу­са­ми мо­де­ли Б. Из­вест­но, что в ав­то­бу­се мо­де­ли А ко­ли­че­ство мест боль­ше 40, но мень­ше 50, а в ав­то­бу­сах мо­де­ли Б  — боль­ше 50, но мень­ше 60. Если всех детей рас­са­дить в ав­то­бу­сы мо­де­ли А, то все места будут за­ня­ты. Если всех детей рас­са­дить в ав­то­бу­сы мо­де­ли Б, то все места так же будут за­ня­ты, но по­тре­бу­ет­ся на один ав­то­бус мень­ше.

а)  Может ли по­тре­бо­вать­ся 4 ав­то­бу­са мо­де­ли Б?

б)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство детей в груп­пе, если из­вест­но, что их мень­ше 300.

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство ав­то­бу­сов мо­де­ли А.

Из­да­тель­ство на вы­став­ку при­вез­ло не­сколь­ко книг для про­да­жи (каж­дую книгу при­вез­ли в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре). Цена каж­дой книги  — на­ту­раль­ное число руб­лей. Если цена книги мень­ше 100 руб­лей, на неё при­кле­и­ва­ют бирку «вы­год­но». Од­на­ко до от­кры­тия вы­став­ки цену каж­дой книги уве­ли­чи­ли на 10 руб­лей, из-⁠за чего ко­ли­че­ство книг с бир­ка­ми «вы­год­но» умень­ши­лось.

а)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг с бир­кой «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

б)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг без бирки «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг без бирки «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­няя цена всех книг со­став­ля­ла 110 руб­лей, сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­став­ля­ла 81 рубль, а сред­няя цена книг без бирки  — 226 руб­лей. После уве­ли­че­ния цены сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­ста­ви­ла 90 руб­лей, а сред­няя цена книг без бирки  — 210 руб­лей. При каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве книг такое воз­мож­но?

Из­да­тель­ство на вы­став­ку при­вез­ло не­сколь­ко книг для про­да­жи (каж­дую книгу при­вез­ли в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре). Цена каж­дой книги  — на­ту­раль­ное число руб­лей. Если цена книги мень­ше 80 руб­лей, на неё при­кле­и­ва­ют бирку «вы­год­но». Од­на­ко до от­кры­тия вы­став­ки цену каж­дой книги уве­ли­чи­ли на 5 руб­лей, из-за чего ко­ли­че­ство книг с бир­ка­ми «вы­год­но» умень­ши­лось.

а)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг с бир­кой «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

б)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг без бирки «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг без бирки «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­няя цена всех книг со­став­ля­ла 103 руб­лей, сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­став­ля­ла 67 руб­лей, а сред­няя цена книг без бирки  — 157 руб­лей. После уве­ли­че­ния цены сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­ста­ви­ла 70 руб­лей, а сред­няя цена книг без бирки  — 146 руб­лей. При каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве книг такое воз­мож­но?

Сто­ро­на квад­ра­та на 3 см длин­нее ши­ри­ны пря­мо­уголь­ни­ка, пло­ща­ди этих фигур равны, а все длины сто­рон  — целые числа.

а)  Может ли ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка быть рав­ной 8?

б)  Может ли длина пря­мо­уголь­ни­ка быть рав­ной 16?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты таких пар пря­мо­уголь­ни­ков и квад­ра­тов. В от­ве­те ука­жи­те длины их сто­рон.

Сто­ро­на квад­ра­та на 2 см длин­нее ши­ри­ны пря­мо­уголь­ни­ка, пло­ща­ди этих фигур равны, а все длины сто­рон  — целые числа.

а)  Может ли ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка быть рав­ной 6?

б)  Может ли длина пря­мо­уголь­ни­ка быть рав­ной 9?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты таких пар пря­мо­уголь­ни­ков и квад­ра­тов. В от­ве­те ука­жи­те длины их сто­рон.

Из­вест­но, что в ко­шель­ке ле­жа­ло n монет, каж­дая из ко­то­рых могла иметь до­сто­ин­ство 2, 5 и 10 руб­лей. Аня сде­ла­ла все свои по­куп­ки, рас­пла­тив­шись за каж­дую по­куп­ку от­дель­но без сдачи толь­ко этими мо­не­та­ми, по­тра­тив при этом все мо­не­ты из ко­шель­ка.

а)  Могли ли все её по­куп­ки со­сто­ять из блок­но­та за 56 руб­лей и ручки за 29 руб­лей, если n  =  14?

б)  Могли ли её по­куп­ки со­сто­ять из чашки чая за 10 руб­лей, сырка за 15 руб­лей и пи­рож­ка за 20 руб­лей, если n  =  19?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пя­ти­рублёвых монет могло быть в ко­шель­ке, если Аня ку­пи­ла толь­ко аль­бом за 85 руб­лей и n  =  24?

Из­вест­но, что в ко­шель­ке ле­жа­ло n монет, каж­дая из ко­то­рых могла иметь до­сто­ин­ство 2, 5 и 10 руб­лей. Таня сде­ла­ла все свои по­куп­ки, рас­пла­тив­шись за каж­дую по­куп­ку от­дель­но без сдачи толь­ко этими мо­не­та­ми, по­тра­тив при этом все мо­не­ты из ко­шель­ка.

а)  Могли ли все её по­куп­ки со­сто­ять из блок­но­та за 64 руб­лей и ручки за 31 рубль, если n  =  16?

б)  Могли ли её по­куп­ки со­сто­ять из ста­ка­на ком­по­та за 15 руб­лей, сырка за 20 руб­лей и бу­лоч­ки за 25 руб­лей, если n  =  26?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пя­ти­рублёвых монет могло быть в ко­шель­ке, если Таня ку­пи­ла толь­ко аль­бом за 96 руб­лей и n  =  19?

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 про­из­воль­но делят на три груп­пы так, чтобы в каж­дой груп­пе было хотя бы одно число. Затем вы­чис­ля­ют зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел в каж­дой из групп (для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу).

а)  Могут ли быть оди­на­ко­вы­ми два из трех зна­че­ний сред­них ариф­ме­ти­че­ских в груп­пах из раз­но­го ко­ли­че­ства чисел?

б)  Могут ли быть оди­на­ко­вы­ми все три зна­че­ния сред­них ариф­ме­ти­че­ских?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние наи­боль­ше­го из по­лу­ча­е­мых трёх сред­них ариф­ме­ти­че­ских.