Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те угол BOC, если угол BAC равен 32°.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 24, DE  — сред­няя линия, па­рал­лель­ная сто­ро­не AB. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE.

В ромбе ABCD угол DBA равен 13°. Най­ди­те угол BCD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 24 и 27. Вы­со­та, опу­щен­ная на мень­шую из этих сто­рон, равна 18. Най­ди­те вы­со­ту, опу­щен­ную на бо́льшую сто­ро­ну па­рал­ле­ло­грам­ма.

В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если ее пе­ре­лить во вто­рой сосуд, диа­метр ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше пер­во­го? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти тре­уголь­ной приз­мы равна 24. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти отсечённой тре­уголь­ной приз­мы.

Через точку, ле­жа­щую на вы­со­те пря­мо­го кру­го­во­го ко­ну­са и де­ля­щую её в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны ко­ну­са, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная его ос­но­ва­нию и де­ля­щая конус на две части. Каков объём той части ко­ну­са, ко­то­рая при­мы­ка­ет к его ос­но­ва­нию, если объём всего ко­ну­са равен 54?

В сбор­ни­ке би­ле­тов по био­ло­гии всего 25 би­ле­тов. Толь­ко в двух би­ле­тах встре­ча­ет­ся во­прос о гри­бах. На эк­за­ме­не школь­ни­ку достаётся один слу­чай­но вы­бран­ный билет из этого сбор­ни­ка. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этом би­ле­те будет во­прос о гри­бах.

Ве­ро­ят­ность того, что мотор хо­ло­диль­ни­ка про­слу­жит более 1 года, равна 0,8, а ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит более 2 лет, равна 0,6. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что мотор про­слу­жит более 1 года, но не более 2 лет?

Сим­мет­рич­ную иг­раль­ную кость бро­си­ли 3 раза. Из­вест­но, что в сумме вы­па­ло 6 очков. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность со­бы­тия «хотя бы раз вы­па­ло 3 очка»?

В го­ро­де 48 % взрос­ло­го на­се­ле­ния  — муж­чи­ны. Пен­си­о­не­ры со­став­ля­ют 12,6 % взрос­ло­го на­се­ле­ния, причём доля пен­си­о­не­ров среди жен­щин равна 15 %. Для со­цио­ло­ги­че­ско­го опро­са вы­бран слу­чай­ным об­ра­зом муж­чи­на, про­жи­ва­ю­щий в этом го­ро­де. Най­ди­те ве­ро­ят­ность со­бы­тия «вы­бран­ный муж­чи­на яв­ля­ет­ся пен­си­о­не­ром».

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ре­ши­те урав­не­ние Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Най­ди­те если и

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик диф­фе­рен­ци­ру­е­мой функ­ции y  =  f(x). На оси абс­цисс от­ме­че­ны де­вять точек: x₁, x₂, ..., x₉. Среди этих точек най­ди­те все точки, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции y  =  f(x) от­ри­ца­тель­на. В от­ве­те ука­жи­те ко­ли­че­ство най­ден­ных точек.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y  =  f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀ . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Ло­ка­тор ба­ти­ска­фа, рав­но­мер­но по­гру­жа­ю­ще­го­ся вер­ти­каль­но вниз, ис­пус­ка­ет уль­тра­зву­ко­вые им­пуль­сы ча­сто­той 749 МГц. Ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где м/с  — ско­рость звука в воде,   — ча­сто­та ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов, f  — ча­сто­та отражённого от дна сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мая приёмни­ком (в МГц). Опре­де­ли­те ча­сто­ту отражённого сиг­на­ла в МГц, если ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа равна 2 м/⁠с.

Вес­ной катер идёт про­тив те­че­ния реки в раза мед­лен­нее, чем по те­че­нию. Летом те­че­ние ста­но­вит­ся на 1 км/⁠ч мед­лен­нее. По­это­му летом катер идёт про­тив те­че­ния в раза мед­лен­нее, чем по те­че­нию. Най­ди­те ско­рость те­че­ния вес­ной (в км/ч).

Сме­шав 45-про­цент­ный и 97-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 62-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 72-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 45-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью 70 км/⁠ч по пря­мо­му шоссе, об­го­ня­ет дру­гой ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся в ту же сто­ро­ну с по­сто­ян­ной ско­ро­стью 40 км/⁠ч. Каким будет рас­сто­я­ние (в ки­ло­мет­рах) между этими ав­то­мо­би­ля­ми через 15 минут после об­го­на?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида где числа a, b и c  — целые. Най­ди­те

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Опре­де­ли­те, какие из его кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер AA₁ и A₁C₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BM и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMN и ABB₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15-⁠го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на шесть ме­ся­цев в раз­ме­ре 1 млн руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца, где r  — целое число;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет мень­ше 1,2 млн руб­лей.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой  — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 1 и 4.

Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния a , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

В шко­лах № 1 и № 2 уча­щи­е­ся пи­са­ли тест. Из каж­дой школы тест пи­са­ли по край­ней мере два уча­щих­ся, а сум­мар­но тест пи­са­ли 9 уча­щих­ся. Каж­дый уча­щий­ся, пи­сав­ший тест, на­брал на­ту­раль­ное ко­ли­че­ство бал­лов. Ока­за­лось, что в каж­дой школе сред­ний балл был целым чис­лом. После этого, один из уча­щих­ся, пи­сав­ших тест, пе­ре­шел из школы № 1 в школу № 2, а сред­ние баллы за тест были пе­ре­счи­та­ны в обеих шко­лах.

а)  Мог ли сред­ний балл в школе № 1 умень­шить­ся в 10 раз?

б)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 10%. Мог ли пер­во­на­чаль­ный сред­ний балл в школе № 2 рав­нять­ся 7?

в)  Сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся на 10%, сред­ний балл в школе № 2 также умень­шил­ся на 10%. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пер­во­на­чаль­но­го сред­не­го балла в школе № 2.