Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 548430

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Спрятать решение

Решение.

Пусть сумма всех чисел в первой группе равна A, во второй — B, в третьей — C, и пусть количества чисел равны соответственно x, y и z. Приписывание цифры к числу увеличивает его в 10 раз и прибавляет эту цифру.

а) Да, это возможно. Например, можно из чисел 2, 7, 3 сделать числа 26, 79, 3.

б) Нет. Учитывая замечание, сделанное в начале решения, получим уравнение 10A плюс 6x плюс 10B плюс 9y плюс C=19 левая круглая скобка A плюс B плюс C правая круглая скобка или 6x плюс 9y=9A плюс 9B плюс 18C, что невозможно, поскольку сумма чисел всегда не меньше их количества, а следовательно, 9A больше или равно 9x больше 6x, откуда 9B больше или равно 9y, то есть 18C меньше 0. Противоречие.

в) Рассмотрим частное новой суммы и старой:

 дробь: числитель: 10A плюс 6x плюс 10B плюс 9y плюс C, знаменатель: A плюс B плюс C конец дроби =1 плюс дробь: числитель: 6x плюс 9y плюс 9A плюс 9B, знаменатель: A плюс B плюс C конец дроби .

Видно, что C должно быть сделано как можно меньше, поэтому можно считать, что в третьей группе лишь одно число (иначе перенесем одно из чисел из третьей группы во вторую). Аналогично при переносе числа из первой группы во вторую числитель дроби увеличится, а знаменатель не изменится. Значит, и в первой группе должно быть лишь одно число. Далее, если число в третьей группе не минимальное изо всех, то его выгодно обменять местами с минимальным — это не повлияет на знаменатель, но увеличит числитель — а затем заменить на единицу — это уменьшит знаменатель и не изменит числитель. Имеем:

1 плюс дробь: числитель: 6x плюс 9y плюс 9A плюс 9B, знаменатель: A плюс B плюс C конец дроби =1 плюс дробь: числитель: 6 плюс 9y плюс 9A плюс 9B, знаменатель: A плюс B плюс 1 конец дроби =10 плюс дробь: числитель: 9y минус 3, знаменатель: A плюс B плюс 1 конец дроби .

При фиксированном y следует сделать знаменатель дроби как можно меньше. Для этого на роль чисел, составляющих A и B, следует взять наименьшие возможные, то есть 2, 3, \ldots, y плюс 2. Получим:

10 плюс дробь: числитель: 9y минус 3, знаменатель: A плюс B плюс 1 конец дроби =10 плюс дробь: числитель: 9y минус 3, знаменатель: 1 плюс 2 плюс 3 плюс \ldots плюс левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка конец дроби =10 плюс дробь: числитель: 18y минус 6, знаменатель: левая круглая скобка y плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка конец дроби .

Найдем значения полученного выражения при различных y:

y = 1: 10 плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 12 конец дроби =11

y = 2: 10 плюс дробь: числитель: 30, знаменатель: 20 конец дроби =11,5,

y = 3: 10 плюс дробь: числитель: 48, знаменатель: 30 конец дроби =11,6,

y = 4: 10 плюс дробь: числитель: 66, знаменатель: 42 конец дроби = целая часть: 11, дробная часть: числитель: 4, знаменатель: 7 меньше 11,6.

 

Докажем, что при прочих y ответ тоже будет меньше, чем 11,6. Для этого изучим поведение второго слагаемого. Пусть f левая круглая скобка y правая круглая скобка = дробь: числитель: 18y минус 6, знаменатель: левая круглая скобка y плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка конец дроби . Найдем производную:

f' левая круглая скобка y правая круглая скобка = дробь: числитель: 6 левая круглая скобка 23 плюс 2 y минус 3 y в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс y правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 3 плюс y правая круглая скобка в квадрате конец дроби .

При y больше или равно 4 найденная производная отрицательна, функция f убывает, а потому при y больше или равно 4 ее значения меньше, чем значение при y=4.

Итак, наибольшее возможное увеличение суммы составляет 11,6 исходной величины и достигается, например, для чисел, 1, 2, 3, 4, 5, которые превращаются в 1, 26, 39, 49, 59 с суммой 174=11,6 умножить на 15.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) в 11,6 раза.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 548430: 548575 Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 19 ЕГЭ–2020
Классификатор алгебры: Числа и их свойства